поле заряженного прямого провода

Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности.

Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).

Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).

Рис. 2.11	Рис. 2.12

Тогда

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости

Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей .

Тогда внутри плоскостей

Вне плоскостей напряженность поля

Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):

Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.

Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:

где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. , то

Это формула для расчета пондермоторной силы.

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.

Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда

Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.

Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

Поле заряженного пустотелого шара

Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, – в любой точке проходит через центр шара. ,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).

Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда

откуда поле вне сферы:

Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:

Как видно из (2.5.7) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.

Поле объемного заряженного шара

Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:

Но внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный

где ρ – объемная плотность заряда, равная: ; – объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:

Таким образом, внутри шара

Источник

Электрическое поле. Напряженность. Принцип суперпозиции

Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Линии напряженности электрического поля (силовые линии). Однородное электрическое поле. Напряженность электростатического поля точечного заряда. Принцип суперпозиции полей. Теорема Гаусса. Электростатическое поле равномерно заряженных плоскости, сферы и шара.

Электрическое поле представляет собой векторное поле, существующее вокруг тел или частиц, обладающее электрическим зарядом, а также возникающее при изменении магнитного поля.

Единицы измерения: \(\displaystyle [\text<В>/\text<м>]\) (вольт на метр).

всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.

— такое поле в данной области пространства. если вектор напряженности поля одинаков в каждой точке области.

При равномерном распределении электрического заряда \(q\) по поверхности площади \(S\) поверхностная плотность заряда \(\displaystyle \sigma\) постоянна и равна

Принцип суперпозиции полей

Заряженная плоскость

Её электрическое поле однородно, то есть его напряжённость одинакова на любом расстоянии от плоскости, линии напряжённости параллельны. По теореме Гаусса:

Заряженная сфера

Рассмотрим электрическое поле равномерно заряженной сферы. Поток напряжённости через любую замкнутую поверхность внутри сферы равен нуля, так как внутри этой поверхности нет заряда. Отсюда следует, что внутри сферы напряжённость равна нулю.

Заряженный шар

Источник

Поле заряженного прямого провода

1.1. Основные уравнения

Для электростатических полей, обусловленных действием неподвижных электрических зарядов, справедливы уравнения:

или (1.1)

Вектора напряженности электрического поля и электрической индукции для большинства задач определены линейным соотношением:

В однородной среде ( e = const ) для потенциала справедливо уравнение Пуассона –

(1.4)

и, в частности, где отсутствуют свободные заряды, уравнение Лапласа –

Граничные условия

Граничные условия определяют поведение векторов поля (нормальных и тангенциальных составляющих) на границе раздела двух сред, параметры которых меняются скачком. Для всех электрических полей имеют место основные граничные условия, которые являются прямым следствием системы уравнений Максвелла:

или (1.6)

Граничные условия для диэлектриков

На границе раздела двух диэлектриков свободный поверхностный заряд s = 0. Следовательно,

Граничные условия на поверхности раздела диэлектрик – проводник

и

Условие (1.11) с учетом (1.3) принимает вид

(1.12)

и его называют граничным условием Неймана, записанным в дифференциальной форме. То же граничное условие в интегральной форме

где под q понимают суммарный заряд электрода.

Поверхность электрода является эквипотенциальной поверхностью, что записывают в виде

(1.14)

и называют граничным условием Дирихле.

1.2. Прямая задача электростатики

Во многих случаях приходится решать сложные задачи, из которых наиболее типичными являются следующие:

1. Нахождение поля при неизвестном местоположении исходных зарядов, но заданном электрическом потенциале на границах области. В инженерной практике потенциалы электродов обычно задаются источниками питания и могут быть измерены или вычислены.

2. Нахождение потенциала электрического поля, создаваемого заданным распределением объёмных электрических зарядов в пространстве.

Прямой метод вычисления потенциала электрического поля в этих задачах состоит в решении уравнения Пуассона (1.4), которое в декартовой системе координат принимает вид

(1.15)

или уравнения Лапласа (1.5):

Уравнения (1.15), (1.16) относятся к классу дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа. Эти уравнения в зависимости от симметрии задачи могут быть записаны в цилиндрических или сферических координатах.

Для получения единственного решения уравнения (1.15) или (1.16) необходимо дополнить их граничными условиями. Различают три типа граничных условий:

1. Граничное условие Дирихле : значение j задано на некоторой замкнутой области. Обычно это проводящая поверхность или поверхность электрода, потенциал которой постоянен (см. 1.14).

3. Смешанная краевая задача (на границе задается линейная комбинация потенциала j и его нормальной производной).

Целью расчёта является нахождение потенциала j и напряженности поля по заданному расположению и форме заряженных тел – электродов – и граничным условиям. Такая задача называется прямой задачей. Если плотность заряда в каждой точке пространства известна, то потенциал как функция положения определяется уравнением Пуассона. Если же требуется найти поле в диэлектрике, содержащем заряженные проводящие тела, то ищут решение уравнения Лапласа, т.е. решают прямую задачу электростатики в постановке Неймана или Дирихле. При этом совокупность всех проводящих тел образуют границу области существования поля. Эта задача имеет единственное решение, если найденная потенциальная функция удовлетворяет уравнению Лапласа и заданным граничным условиям.

1.3. Методы решения электростатических задач

Общие методы решения уравнения Лапласа при заданных граничных условиях на тех или иных поверхностях изучаются в соответствующем разделе математической физики. Ограничимся здесь лишь указанием некоторых приемов, изложенных в учебной электротехнической литературе [1] – [7]. К ним следует отнести:

а) Использование интегральных уравнений для решения симметричных задач;

в) Метод изображений;

д) Метод средних потенциалов;

е) Метод разделения переменных (Фурье).

В настоящем пособии рассматриваются метод наложения совместно с методом зеркальных изображений.

Метод наложения. Формулы Максвелла

В случае линейной среды ( = const ) по методу наложения имеем:

Потенциалы и заряды проводящих тел связаны между собой линейными соотношениями, которые называются формулами Максвелла. Если известны заряды электродов, то их потенциалы могут быть найдены путём решения задачи Неймана. В этом случае связь осуществляется потенциальными коэффициентами a :

(1.17)

Если известны потенциалы электродов, то, решив задачу Дирихле, можно найти заряды электродов и записать формулы Максвелла с емкостными коэффициентами:

(1.18)

где собственный емкостный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю, взаимный емкостный коэффициент при всех остальных (кроме ), равных нулю.

Вместо линейных соотношений (1.18) более удобно применять формулы с частичными емкостями, которые связывают заряды электродов и напряжения между ними.

Формулы с частичными емкостями:

(1.19)

Символом обозначают потенциал электрода, значительно удалённого от области исследования поля. Для системы электродов, линейные размеры которых ограничены, за ноль принимается потенциал бесконечно удаленной точки. Если электроды (теоретически) уходят в бесконечность, то в качестве известного нулевого потенциала указывают точку (или линию), расположенную на границе симметрии задачи. Определять потенциал этой точки необходимо, так как только в этом случае однозначно определяются потенциалы остальных точек (электродов).

1.4. Поля электродов простых геометрических форм

Поле шарового заряда

Заряд q на проводящей шаровой поверхности радиуса R в силу симметрии распределяется равномерно, и потенциал вне сферы определяется выражением:

Уравнение r = const будет уравнением эквипотенциальной поверхности, все они образуют концентрически расположенные сферы.

Если с этой сферой совместить проводящую поверхность второго электрода, т.е. металлизировать эквипотенциальную поверхность, то можно найти ёмкость сферического конденсатора:

Вектор напряженности поля направлен радиально и равен

Поле длинной заряженной оси, кругового цилиндра и коаксиальных цилиндров

Соответственно потенциал определится логарифмической функцией:

Эквипотенциальные поверхности – боковые поверхности цилиндров, оси которых совпадают с заряженной осью ( r = const ). Радиусы соседних поверхностей, потенциалы которых отличаются на одну и ту же величину, выбираются в геометрической прогрессии с произвольным знаменателем. Поле между двумя металлизированными цилиндрическими поверхностями совпадает с полем цилиндрического конденсатора и с полем заряженного провода.

(1.24)

Область, заключённая между двумя силовыми линиями, называется силовой трубкой. Поток вектора внутри силовой трубки постоянен и определён частью заряда электрода.

Потенциал и функция потока не могут выбираться произвольно, они связаны между собой дифференциальными соотношениями, которые называют условиями Коши – Римана:

Эти условия для рассматриваемого случая легко проверяются, если в выражениях (1.21) и (1.22) от полярных координат перейти к декартовым по формулам:

Решения (1.23) и (1.24) имеют большое прикладное значение, так как расчет поля системы длинных параллельных проводов, применяемых, например, для передачи энергии или для телефонной связи, сводится практически к сложению полей нескольких пар бесконечно длинных разноимённо заряженных осей.

Поле двух разноимённо заряженных осей

Рис. 1.1. Построение эквипотенциали для двух разноименно заряженных осей

Эквипотенциальные поверхности (линии в плоскости чертежа) представляют собой окружности со смещенными центрами. На рис. 1.1 точка p лежит на эквипотенциальной поверхности.

Функция потока V определяется методом наложения с использованием выражения (1.24):

Рис. 1.2. Построение силовых линий напряженности электрического поля для двух разноименно заряженных осей

Координаты центра окружности связаны с заданным значением J условием:

Эквипотенциальные поверхности и силовые линии поля взаимно перпендикулярны.

Поле параллельных цилиндров с несовпадающими осями

Любую эквипотенциальную поверхность можно совместить с поверхностью электрода, потенциал которого равен потенциалу этой поверхности. При этом внешнее поле, которое существует между электродами, не изменится. Этот приём называют металлизацией эквипотенциальных поверхностей.

Рис. 1.3. Взаимное внутреннее расположение двух несоосных цилиндрических электродов

Рис. 1.4. Взаимное внешнее расположение двух цилиндрических электродов

Для случая, изображенного на рис. 1.3, имеем

;

;

Для случая, изображенного на рис. 1.4,

;

(так как );

Вектор напряженности поля находят по формуле (1.3), которая для плоскопараллельного поля принимает вид:

(1.30)

Для того чтобы воспользоваться формулой (1.30), необходимо выбрать систему координат, совмещенную с осями симметрии задачи. Например, ось x направить горизонтально через электрические оси электродов, а ось y совместить с линией нулевого потенциала, т.е. использовать электрическую симметрию задачи.

Поле и ёмкость системы цилиндр – плоскость

Рис. 1.5. Взаимное расположение заряженного цилиндра и плоскости

(1.31)

Поле и ёмкость двухпроводной линии

Потенциал положительно заряженного провода

потенциал отрицательно заряженного провода

напряжение, ёмкость на единицу длины и заряд на единицу длины

1.5. Метод зеркальных отражений

Для расчета электростатических полей, ограниченных какой-либо проводящей поверхностью правильной формы или в которых есть геометрически правильной формы граница между двумя диэлектриками, широко применяют метод зеркальных отражений. Это искусственный приём расчёта, в котором кроме заданных зарядов вводят ещё дополнительные, значения и местоположение которых выбирают так, чтобы удовлетворить граничным условиям в поле. Территориально заряды помещают там, где находятся зеркальные отражения заданных зарядов.

Если заряд (или ) расположен у границы двух диэлектриков (рис. 1.6 a ), то на поверхности раздела наводятся связанные электрические заряды, которые подчиняются граничному условию (1.10).

Исключить действие этих зарядов с заменой их эквивалентным действием сосредоточенных зарядов можно путём разбиения задачи на две части:

а) Поле в той среде, где задан точечный заряд (рис. 1.6б), определяется зарядом и зарядом

Рис. 1.6. а) заряд вблизи границы двух диэлектрических сред; б) расположение эквивалентных зарядов для расчета поля в 1-й среде; в) то же для 2-й среды

Дополнительные заряды должны находиться на том же расстоянии от границы, что и заданный.

Поле и ёмкость двухпроводной линии с учётом влияния Земли

Рис. 1.7. Взаимное расположение линейных заряженных проводов относительно плоской проводящей поверхности (“земли”)

В результате получатся две пары разноименно заряженных осей и в однородной среде. Потенциал в любой точке верхней полуплоскости находится методом наложения от каждой пары зарядов на основании формулы (1.25):

(1.35)

(1.36)

Множители при зарядах и – потенциаль­ные коэффициенты.

Рис. 1.8. Расчетная модель задачи с двухпроводной линией над Землей по методу зеркальных отражений

В данном случае собственные потен­циальные коэффициенты определяются как

а взаимные потенциальные коэффициенты

Они всегда положительны и имеют размерность м/Ф. Полученные формулы связывают заряды и потенциалы проводов. Если заданы потенциалы проводов, то заряды могут быть найдены из решения системы уравнений (1.35) и (1.36):

1.6. Пример аналитического решения задачи электростатики

1. Рассчитать и построить распределение потенциала вдоль оси y при х = 0;

2. Рассчитать и построить распределение плотности заряда s на поверхности земли;

3. Определить частичные емкости проводов.

Рис. 1.9. Двухпроводная линия передачи с заземленным верхним проводом

Поле заряженных проводов суммируется с полем тучи. Используя метод наложения, получим связь потенциалов и зарядов электродов, по формулам Максвелла для потенциальных коэффициентов:

(1.37)

(1.38)

и в, частности, при :

Рис. 1.10. Расчетная модель задачи двухпроводной линии с заземленным верхним проводом по методу зеркальных отражений

Поверхностная плотность заряда на поверхности “земли” определяется нормальной составляющей напряженности суммарного поля:

(1.39)

где x – в метрах. Откуда видно, что к заряду обусловленному наличием тучи добавляются два слагаемых, учитывающих влияние каждого из заряженных проводов.

Емкостные коэффициенты можно выразить через потенциальные коэффициенты :

Для ввода графиков в пакете MathCAD можно использовать:

— меню Insert опция Graph главного меню пакета (рис. 1.11) с последующим выбором типа графика из выпадающего меню;

Все эти пути приводят к одинаковому результату – в поле рабочего файла появляется шаблон двумерного или трехмерного графика соответствующего типа. Шаблоны графиков имеют маркеры ввода “■”, которые необходимо заполнить (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Поле рабочего файла в пакете MathCAD с вкладками панели Math

Построим график изменения потенциала вдоль вертикальной оси y при х = 0 (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Пример программирования в MathCAD потенциальной функции и ее графического представления

При построении графиков и не следует забывать о физически обусловленной зависимости поведения этих функций вблизи и внутри электродов, что обычно не учитывается в соответствующих математических выражениях и может привести к неверным результатам. Так если расчетная точка попадает внутрь электрода, то следует определить потенциал этой точки равным заданному потенциалу электрода, а напряженность поля внутри электрода для всех точек приравнять нулю.

Рис. 1.13. Пример программирования в MathCAD функции поверхностного свободного заряда

Отметим, что для изменения параметров выводимого графика и масштабной сетки в MathCAD необходимо щелкнуть левой кнопкой мыши на графике, при этом он выделится синей рамкой, и далее нажать правую кнопку мыши. В возникшем контекстном меню следует выбрать команду “ Format …”, после чего появится окно редактирования параметров выводимого графика (рис. 1.14).

Активация того или иного пункта подраздела осуществляется установкой флага (в виде галочки) левой кнопкой мыши.

Рис. 1.14. Окно редактирования параметров выводимого графика

Для изменения параметров линий выводимых графиков необходимо использовать подраздел Traces окна редактирования параметров графика.

3 D -Графики. Создание графика поверхности и карты линий уровня

Трехмерный график можно построить тремя основными способами:

— по двумерному массиву данных в форме ряда значений;

— формированием массива данных в виде матрицы путем программирования функциональной зависимости ее элемента от аргументов;

Если выражение для исследуемой функции определено, то последний способ находит наибольшее применение. В этом случае производят следующие действия:

а) Определяют функцию двух переменных;

б) Указывают границы расчетной области;

в) Задают сколько точек нужно отложить по координатным осям. Введением дискретных аргументов i и j индексируются точки, где определяются значения функции;

г) Определяют координаты и точек через введённые дискретные переменные;

д) Через операцию присваивания определяют значения двумерного массива – матрицы значений исследуемой функции. MathCad линейно интерполирует значения этой матрицы и формирует требуемый график.

Построим график поверхности потенциальной функции (рис. 1.15 слева).

Рис. 1.15. Пример построения потенциальной двумерной функции и эквипотенциалей в заданном сечении

— дважды щелкнуть на графике левой кнопкой мыши или однократно щелкнуть на графике правой кнопкой мыши и выбрать из контекстного меню команду “ Format …”, появится окно 3- D Plot Format ;

Отметим, что MathCAD предоставляет различные возможности изменить внешний вид графика: изменение масштаба; изменение цвета и форматирование линий; форматирование осей введением сетки.

Рис. 1.16. Пример выбора типа графика в подразделе General окна 3- D Plot Format

Рис. 1.17. Пример назначения оцифровки линий равного уровня в подразделе Special окна 3- D Plot Format

Применение функции CreateMesh для построения линии равного уровня

F – трёхэлементный вектор – функция двух переменных u и v ;

G – скалярная функция двух переменных u и v ;

s 0 – нижнее значение для независимой переменной u ;

s 1 – верхний предел (значение) для независимой переменной u ;

t 0 – нижний предел для независимой переменной v ;

t 1 – верхний предел для переменной v ;

sgrid – целое положительное число точек в интервале изменения переменной u ;

tgrid – целое положительное число точек в интервале изменения переменной v ;

Пример описания векторной функции:

;

Пример описания скалярной функции:

Пример описания трёх функций:

f1(x,y) := x f2(x,y) := y f3(x,y) := sin (x) + cos (y).

Число ячеек в созданной сетке: ( sgrid – 1 ) × ( tgrid – 1).

MathCAD использует внутренние возможности при создании массива значений функции двух переменных.

Пример использования функции CreateMesh приведён в Разделе 2.

Источник

• ← что можно написать незнакомому человеку чтобы он улыбнулся
• покрыть крышу сарая шифером →