одномерное стационарное температурное поле

Тема 9.Теплопроводность

9.1. Температурное поле. Уравнение теплопроводности

Будем рассматривать только однородные и изотропные тела, т.е. такие тела, которые обладают одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При передачи теплоты в твердом теле, температура тела будет изменяться по всему объему тела и во времени. Совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства называется температурным полем:

где:t –температура тела;

Такое температурное поле называется нестационарным ∂t/∂ i ¹ 0, т.е. соответствует неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности

Если температура тела функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным:

Уравнение двухмерного температурного поля:

для нестационарного режима:

для стационарного режима:

Уравнение одномерного температурного поля:

для нестационарного режима:

t = f(x,τ) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂ i ¹ 0 (9.5)

для стационарного режима:

t = f(x) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂ i = 0 (9.6)

Изотермической поверхностью называется поверхность тела с одинаковыми температурой.

Рассмотрим две изотермические поверхности (Рис.9.1) с температурами t и t + ∆t. Градиентом температуры называют предел отношения изменения температуры∆t к расстоянию между изотермами по нормали ∆n, когда стремится к нулю:

Температурный градиент-это вектор, направленной по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной температуры t по нормалиn:

Количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность F в единицу времени называется тепловым потоком – Q, [Вт=Дж/с].

Тепловой поток, проходящий через единицу площади называют плотностью теплового потока – q = Q / F, [Вт/м 2 ]

Для твердого тела уравнение теплопроводности подчиняется закону Фурье:

Тепловой поток, передаваемая теплопроводностью, пропорциональна градиенту температуры и площади сечения, перпендикулярного направлению теплового потока.

где: q – вектор плотности теплового потока;

Численное значение вектора плотности теплового потока равна:

Коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества, характеризующим способность тела проводит теплоту, Она зависит от рода вещества, давления и температуры. Также на её величину влияет влажность вещества. Для большинства веществ коэффициент теплопроводности определяются опытным путем и для технических расчетов берут из справочной литературы.

Источник

Одномерное температурное поле

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ

Для математического описания процесса теплопроводности пользуются дифференциальным уравнением теплопроводности, которое выводится из баланса тепла в элементарном объеме тела или среды.

При стационарных условиях в любой точке пространства температура есть величина постоянная, а значит справедливо уравнение Лапласа

. (6.1)

Одномерное температурное поле

Изменение температур только в одном направлении (рис. 6.1) представляется одномерным температурным полем. В этом случае изотермы располагаются параллельно поверхностям ограждения. Уравнение имеет вид

. (6.2)

Решая это уравнение последовательно, получаем

и .

Для нахождения постоянных С₁ і С₂ задаются граничными условиями:

при х = δ будет t = t₂, тогда _.

Здесь t₁ та t₂ – температуры соответственно на внутренней и внешней поверхности ограждения.

Используя значения постоянных, получаем уравнение распределения температур в пределах однородной однослойной конструкции

. (6.3)

Полученное уравнение является прямой линией, демонстрирует рис.6.1.

В инженерных расчетах возникает необходимость определять значение температуры на внутренней поверхности, τ_в. Ее величина определяется из соотношения

, откуда

. (6.4)

Можно также найти температуру в любой плоскости ограждения (τ_х) на расстоянии х от внутренней поверхности, если известно термическое сопротивление этой части ограждения R_x по формуле

. (6.5)

Дата добавления: 2017-06-13 ; просмотров: 4210 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Температурное поле

Теплопроводность

Процесс теплопроводности, как и другие виды теплообмена, может иметь место только при условии, что в различных точках тела (или системы тел) температура неодинакова. В общем случае процесс распространения теплоты теплопроводностью в теле сопровождается измене­нием температуры, как в пространстве, так и во времени. Температурное состояние тела (или системы тел) можно охарактеризовать с помощью температурного поля.

Температурным полем называют совокупность значений температу­ры во всех точках тела для каждого времени.

Поскольку температура различных точек тела определяется ко­ординатами x, y, z и временем τ, то в общем случае уравнение температурного поля имеет вид:

(1)

Различают стационарные и нестационарные температурные поля. Если температура в точках тела не изменяется во времени, то такое температурное поле называют стационарным или установившимся, если же температура меняется во времени, то поле называют нестационар­ным или неустановившимся.

Температура в теле может меняться в направлении одной, двух или трех координатных осей. В соответствии с этим различают одно­мерные (линейные), двухмерные (плоскостные) и трехмерные (пространственные) температурные поля.

В соответствии с изложенной классификацией температурных по­лей уравнение (1) описывает трехмерное нестационарное поле.

Уравнение трехмерного стационарного поля имеет вид:

; (2)

Уравнение одномерного нестационарного поля принимает вид:

; (3)

Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационар­ного температурного поля:

; ; (4)

Источник

Температурное поле. Градиент температуры

Температурным полем называется совокупность значений температуры в каждый момент времени во всех точках рассматриваемого пространства. Если температура постоянна во времени, то поле называется стационарным или установившимся. Если же температура во времени меняется, то поле называется нестационарным (неустановившимся).

Температура может быть функцией трёх, двух и одной координат. В соответствии с этим различают трёх-, двух-, и одномерные температурные поля.

Математически нестационарное трёхмерное температурное поле, в общем случае задаётся уравнением, связывающим значение температуры в каждой точке тела со значением координат этой точки в данный момент времени и имеет вид[1]:

а стационарного поля:

Поверхности, представляющие собой геометрическое место точек с одинаковой температурой, называют изотермическими поверхностями, а линии пересечения изотермической поверхности с плоскостью – изотермами (рис. 9.1.).

В окрестности данной точки температура изменяется во всех направлениях, не совпадающих с касательной к изотерме. При этом наиболее резкое изменение температуры имеет место в направлении по нормали к изотермической поверхности.

Рис. 9.1. Температурное поле. Удельный тепловой поток, градиент температуры

Градиент температуры. Производная температуры по нормали к изотермической поверхности называется градиентом температуры:

(9.3)

Эта величина является вектором, направленным по нормали к изотермической поверхности в сторону увеличения температуры (см. рис. 9.1.).

Градиент температуры характеризует интенсивность изменения температуры в направлении нормали. Интенсивность изменения температуры в произвольном направлении меньшая, чем в направлении нормали, и равна проекции на это направление:

Источник

Температурное поле. Уравнение теплопроводности

Тема 9.Теплопроводность.

Тема 8. Основные понятия и определения.

Раздел II. Основы теории теплообмена.

Теория теплообмена изучает процессы распространения теплоты в твердых, жидких и газообразных телах. Перенос теплоты может передаваться тремя способами:

Процесс передачи теплоты теплопроводностью происходит при непосредственном контакте тел или частицами тел с различными температурами и представляет собой молекулярный процесс передачи теплоты. При нагревании тела, кинетическая энергия его молекул возрастает и частицы более нагретой части тела, сталкиваясь с соседними молекулами, сообщают им часть своей кинетической энергии.
Конвекция – это перенос теплоты при перемещении и перемешивании всей массы неравномерно нагретых жидкости или газа. При этом, перенос теплоты зависит от скорости движения жидкости или газа прямо пропорционально. Этот вид передачи теплоты сопровождается всегда теплопроводностью. Одновременный перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвективным теплообменом.
В инженерных расчетах часто определяют конвективный теплообмен между потоками жидкости или газа и поверхностью твердого тела. Этот процесс конвективного теплообмена называют конвективной теплоотдачей или просто теплоотдачей.
Процесс передачи теплоты внутренней энергии тела в виде электромагнитных волн называется излучением (радиацией). Этот процесс происходит в три стадии: превращение части внутренней энергии одного из тел в энергию электромагнитных волн, распространение э/м волн в пространстве, поглощение энергии излучения другим телом. Совместный теплообмен излучением и теплопроводностью называют радиационно-кондуктивным теплообменом.
Совокупность всех трех видов теплообмена называется сложным теплообменом.
Процессы теплообмена могут происходит в различных средах: чистых веществах и разных смесях, при изменении и без изменения агрегатного состояния рабочих сред и т.д. В зависимости от этого теплообмен протекает по разному и описывается различными уравнениями.
Процесс переноса теплоты может сопровождаться переносом вещества (массообмен). Например испарение воды в воздух, движение жидкостей или газов в трубопроводах и.т.п. и.т.д. Тогда процесс теплообмена усложняется, так как теплота дополнительно переносится с массой движущегося вещества.

Будем рассматривать только однородные и изотропные тела, т.е. такие тела, которые обладают одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При передачи теплоты в твердом теле, температура тела будет изменяться по всему объему тела и во времени. Совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства называется температурным полем:

Уравнение двухмерного температурного поля:
для нестационарного режима:

для стационарного режима:

Уравнение одномерного температурного поля:
для нестационарного режима:

t = f(x,τ) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂i ¹ 0 (9.5)

для стационарного режима:

t = f(x) ; ∂t/∂y = ∂t/∂z = 0; ∂t/∂i = 0 (9.6)

Изотермической поверхностью называется поверхность тела с одинаковыми температурой.
Рассмотрим две изотермические поверхности (Рис.9.1) с температурами t и t + ∆t.Градиентом температуры называют предел отношения изменения температуры∆tк расстоянию между изотермами по нормали ∆n, когда стремится к нулю:

gradt = |gradt| = lim[∆t/∆n]_∆n→0 = ∂t/∂n (9.7)

Температурный градиент-это вектор, направленной по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной температуры t по нормалиn:

где:n_o –единичный вектор.

Количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность F в единицу времени называется тепловым потоком – Q, [Вт=Дж/с].
Тепловой поток, проходящий через единицу площади называют плотностью теплового потока – q = Q / F, [Вт/м 2 ]
Для твердого тела уравнение теплопроводности подчиняется закону Фурье:
||Тепловой поток, передаваемая теплопроводностью,||пропорциональна градиенту температуры и площади сечения,||перпендикулярного направлению теплового потока.

где: q –вектор плотности теплового потока;
λ – κоэффициент теплопроводности, [Вт/(м∙К)].
Численное значение вектора плотности теплового потока равна:

где:|gradt|- модуль вектора градиента температуры.
Коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества, характеризующим способность тела проводит теплоту, Она зависит от рода вещества, давления и температуры. Также на её величину влияет влажность вещества. Для большинства веществ коэффициент теплопроводности определяются опытным путем и для технических расчетов берут из справочной литературы.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для трехмерного нестационарного температурного поля имеет следующий вид:

, (9.11)

где: а = λ/(с·ρ) –коэффициент температуропроводности [м 2 /с], характеризует скорость изменения температуры.
Для стационарной задачи, дифференциальное уравнение имеет вид:

. (9.12)

Источник