Неполное квадратное уравнение что это

Неполные квадратные уравнения

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса!

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Ответ: х = 0 и х = 16.

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

Источник

Неполные квадратные уравнения

теория по математике 📈 уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где х – переменная, a, b, c некоторые числа, причем a≠0. Обычно его называют полным квадратным уравнением.

Если в таком уравнении один из коэффициентов b или c равен нулю, либо оба одновременно равны нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Неполное квадратное уравнение при b=0: ax 2 +c=0

Для решения такого вида уравнения надо выполнить перенос коэффициента с в правую часть, затем найти квадрат переменной (делим обе части на одно и то же число), найти два корня уравнения, либо доказать, что корней нет (если х 2 равен отрицательному коэффициенту; знаем, что квадрат любого числа равен только положительному числу).

Пример №1. Решить уравнение:

Выполним перенос числа –45 в правую часть, изменяя знак на противоположный: 5х 2 =45; найдем переменную в квадрате, поделив обе части уравнения на 5: х 2 =9. Видим, что квадрат переменной равен положительному числу, поэтому уравнение имеет два корня, находим их устно, извлекая квадратный корень из числа 9, получим –3 и 3. Оформляем решение уравнения обычным способом:

Ответ: х=±3 или можно записать ответ так: х₁=–3, х₂=3 (обычно меньший корень записывают первым). Пример №2. Решить уравнение:

Выполним решение уже известным способом: –6х 2 =90. х 2 =–15 Здесь видим, что квадрат переменной равен отрицательному числу, а это значит, что уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Пример №3. Решить уравнение:

Здесь мы видим в левой части уравнения формулу сокращенного умножения (разность квадратов двух выражений). Поэтому, можем разложить данное выражение на множители, и найти корни уравнения: (х–10)(х+10)=0. Соответственно, вспомним, что произведение двух множителей равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть х–10=0 или х+10=0. Откуда имеем два корня х₁=10, х₂=–10.

Неполное квадратное уравнение при с=0: ax 2 +bx=0

Данного вида уравнение решается способом разложения на множители – вынесением за скобки переменной. Данное уравнение всегда имеет два корня, один из которых равен нулю. Рассмотрим данный способ на примерах.

Пример №4. Решить уравнение:

Выносим переменную х за скобки: х(х+8)=0. Получаем два уравнения х=0 или х+8=0. Отсюда данное уравнение имеет два корня – это 0 и –8.

Пример №5. Решить уравнение:

Здесь кроме переменной можно вынести за скобки еще и коэффициент 3, который является общим множителем для данных в уравнении коэффициентов. Получим: 3х(х–4)=0. Получаем два уравнения 3х=0 и х–4=0. Соответственно и два корня – нуль и 4.

Неполное квадратное уравнение с коэффициентами b и с равными нулю: ax 2 =0

Данное уравнение при любых значениях коэффициента а будет иметь один корень, равный нулю.

Пример №6. Решить уравнение:

Обе части уравнения делим на (–14) и получаем х 2 =0, откуда соответственно и единственный корень – нуль. Пример №6. Решить уравнение:

Также делим обе части на 23 и получаем х 2 =0. Значит, корень уравнения – нуль.

Источник

Квадратные уравнения. Полное и неполное квадратное уравнение.

Квадратные уравнения. Общая информация.

В квадратном уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате (поэтому оно и называется

«квадратным»). Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и

просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Алгебраическое уравнение общего вида.

Например:

Выражение называют квадратным трёхчленом.

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия:

· называют первым или старшим коэффициентом,

· называют вторым или коэффициентом при ,

· называют свободным членом.

Полное квадратное уравнение.

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с

коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с. Все коэффициенты

должны быть отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме

старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

И так далее. Если же c = 0, получим уравнение без свободного члена, например:

И т.п. А если оба коэффициента, b и c равны нулю, то всё ещё проще, например:

Обратите внимание, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Почему а не может быть равно нулю? Тогда исчезнет икс в квадрате и уравнение станет линейным.

Источник

Методы решения неполных квадратных уравнений

Научившись решать уравнения первой степени, хочется научиться работать с более сложными уравнениями, например, с квадратными. Многим известно, как решаются стандартные квадратные уравнения, но есть особый вид таких выражений, которые называют квадратные уравнения в краткой записи. Рассмотрим подробнее, как решать неполные квадратные уравнения.

Алгоритм нахождения решений

На сегодняшний день существует три вида таких выражений. В зависимости от этого каждое решение имеет свои особенности, от которых зависит решение конкретного примера, будь оно целым или в виде иррационального числа.

Уравнение вида ax2+bx=0 при отсутствии c

Это наиболее распространенное выражение в укороченном типе с квадратными корнями. Как решить нечто похожее в этом случае? Для этого надо разложить левую часть на множители. Алгоритм решения следующий, и обычно не меняется:

ax2+c=0 при b равном нулю

Не такой частый, но встречающийся тип квадратного выражения. Здесь имеются два корня, отличающиеся лишь знаками, в крайнем случае корней не имеется вообще.

План действий для решения такого выражения разберем на следующем примере:

А вот при одинаковых знаках в записи решения не будет в принципе. Например, для выражения 25×2+1=0 не имеется ответа, потому что сумма положительных чисел никогда не может равняться нулю.

В школьном курсе алгебры эти равенства стараются решить так, чтобы прийти к формату x2=d. То есть 9×2−2 равно нулю. Тогда x2=2/9, а ответом послужат два одинаковых корня с разными знаками.

Особый вид уравнения

Имеется также один особый тип укороченного выражения. Он имеет следующий вид ax2, которое равно нулю. У таких уравнений имеется решение в виде единственного корня. В учебниках есть указание, что решение состоит в виде двух корней, каждый из которых равен нулю.

Другие способы решения неполных уравнений

Любое подобное выражение в квадрате можно решить, не применяя формулу квадратных корней. К таким видам решения называют формулу сокращенного умножения и правило деления на число.

Допустим, выражение 5×2=0. В этом выражении только умножение на ноль даст результат, а значит, единственный ответ здесь x=0.

Теперь возьмем выражение вида 5×2=125. Делим обе части уравнения на 5. Получим следующий промежуточный результат: x2=25. Переносим все в левую часть и получится x2−25=0. Затем используем формулу разности квадратов в виде (x-5)*(x+5)=0. Получаем итоговый результат в виде x=5 или x=-5.

Далее разберем, как решить вышеописанными способами равенство 16*x2-x=0. Выносится общий множитель за скобки x*(16x-1)=0. Получается два варианта ответа: x=0 и 16x=1. После этого делим каждую часть на 16, в итоге получаем x=1/16. Записываем итоговый ответ в виде x1=0 и x2=1/16.

Стоит отметить, что если вы не знаете, как применить формулы сокращенного умножения или деления на число, то лучше применить способ решения такого выражения согласно стандартным правилам решения квадратного уравнения. Каким именно методом решить данные квадратные выражения, выбирает сам человек. Иногда самые очевидные способы решения не подойдут для определенного примера, может и вовсе не оказаться конкретных ответов. Также не является обязательным такой вариант, как стандартные целые числа.

Здесь могут быть и иррациональные числа, а также дробные. Все будет зависеть от конкретного выражения.

Не являющиеся полными примеры по типу квадрата, несмотря на свое название, решаются достаточно просто. Можно применить как стандартные методы нахождения ответа, например, квадратные корни, так и формулы сокращенного умножения, а также деления на число.

При этом нельзя сказать, что какой-либо из вышеописанных способов является универсальным. Под каждое конкретное уравнение подбирается свой способ нахождения ответа. Не забывайте также о том, что не все такие квадратные равенства имеют ответ, иногда у них нет корней вовсе. Это верно, если оба числа являются положительными, а их сумма не может равняться нулю.

Видео

Из видео вы узнаете способы решения неполных квадратных уравнений.

Источник

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

Решение неполных квадратных уравнений

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

Чтобы ax + b было равно нулю, нужно, чтобы

Следовательно, уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Неполные квадратные уравнения вида ax 2 + bx = 0, где b ≠ 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0, где c ≠ 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

Пример 2. Решите уравнение:

Уравнение вида ax 2 = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a ≠ 0, то из ax 2 = 0 следует, что x 2 = 0, значит, и x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.

Источник