сложные числа что это
Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Простые и составные числа – определения и примеры
Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.
Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.
Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.
Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.
Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.
Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.
Таблица простых чисел
Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:
Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.
Простых чисел бесконечно много.
Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.
Решето Эратосфена
Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.
Перейдем к формулировке теоремы.
Данное число простое или составное?
Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.
Доказать что число 898989898989898989 является составным.
Ответ: 11723 является составным числом.
Сложное число
Смотреть что такое «Сложное число» в других словарях:
Множественное число — (грамм.). Грамматическая категория числа выработалась в языке постепенно, путем приурочения известных оттенков значения к известным внешним особенностям слова. Первично случайные, эти особенности стали мало помалу необходимыми знаками известных… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
сложный — 1) сложный ая, ое; жен, жна, жно, сложны и сложны. 1. только полн. ф. Состоящий из нескольких частей, элементов. Сложные вещества. Сложное число. Сложное предложение. 2. Многообразный по составу входящих частей, отношений, связей. Педагогика есть … Малый академический словарь
цифра — ы, ж. chiffre m., нем. Ziffer <араб. 1. Знак, обозначающий число. БАС 1. Мы уселись посредине залы возле ломберного стола; дядя чертил на нем с большим вниманием какие то цифры и непонятные мне знаки. В. Одоевский Саламандра. ЦИФРА Один… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
ПРЕСТУПНОСТЬ — сложное социально правовое явление, включающее в себя совокупность всех преступлений (уголовно наказуемых деяний), совершенных в конкретном обществе (государстве) за тот или иной период времени, и характеризующееся соответствующими… … Энциклопедия юриста
ПРЕСТУПНОСТЬ ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ — сложное по характеру социально правовое явление, складывающееся из совокупности экологических преступлений и подрывающее биологические основы существования человеческого общества. Экологические преступления (ЭП) и правонарушения относятся к… … Энциклопедия юриста
Двойное отношение — (сложное, или ангармоническое) четырёх точек M1, M2, Мз, M4 на прямой (рис. 1), число, обозначаемое символом (M1M2M3M4) и равное При этом отношение M1M3/M3M2 считается положительным, если направления отрезков M1M3 и M3M2 … Большая советская энциклопедия
ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ — сложное (или ангармоническое) отношение, четырех точек М 1, М 2, М 3, M4 на прямой число, обозначаемое символом ( М 1 М 2 М 3 М 4 )и равное При этом отношение M1M3/M3M2 считается положительным, если направления отрезков М 1 М 3 и М 3 М 2… … Математическая энциклопедия
Слепоглухота — сложное нарушение в развитии ребёнка. По данным Международной организации по развитию служб помощи слепоглухим, предполагаемое число людей с двойным сенсорным нарушением в мире составляет ок. 1 млн. чел. К ним принято относить всех людей,… … Педагогический терминологический словарь
Канон — сложное произведение, состоящее из множества строф. Церковный гимн, посвященный прославлению Иисуса Христа, Божьей Матери, какого либо святого или праздника. Входит в состав многих богослужений. Канон подразделяется на песни, каждая из которых … Православная энциклопедия
Простые и составные числа
Натуральные числа, большие единицы, в зависимости от количества их делителей, подразделяются на простые и составные числа.
Простое число — это натуральное число, которое больше единицы и делится только на единицу и само на себя.
2, 5, 7, 11 — простые числа.
2 — делится на 1 и на 2.
5 — делится на 1 и на 5.
7 — делится на 1 и на 7.
11 — делится на 1 и на 11.
Составное число — это натуральное число, которое больше единицы, делится не только на единицу и само на себя, но и ещё хотя бы на одно натуральное число.
4, 6, 9, 10 — составные числа.
4 — делится на 1, на 2 и на 4.
6 — делится на 1, на 2, на 3 и на 6.
9 — делится на 1, на 3 и на 9.
10 — делится на 1, на 2, на 5 и на 10.
Наименьшее простое число — число 2 (оно же первое простое число). Это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа нечётные.
Наименьшее составное число — число 4 (оно же первое составное число).
Простых и составных чисел бесконечно много, есть первое простое и составное число, но нет последнего простого и составного числа.
Единица имеет только один делитель — само число 1. Этим единица отличается от всех остальных натуральных чисел, поэтому условились считать, что единица не является ни простым, ни составным числом.
Не существует простых чисел, оканчивающихся на 4, 6, 8 или 0. Среди простых чисел есть только одно число, оканчивающееся на 2 — само число 2, из оканчивающихся на 5 — тоже есть только одно число — само число 5. Все остальные простые числа, кроме 2 и 5, оканчиваются на 1, 3, 7 или 9. Не все числа, оканчивающиеся на 1, 3, 7, 9, являются простыми, например числа 21, 27, 33, 39 и многие другие — составные.
Калькулятор
Простые числа
Простые числа намного полезнее, чем вы можете подумать, полагая их чисто умозрительными конструктами.
Простые числа — те числа, которые делятся без остатка только на само себя и 1. Это означает, что простое число нельзя представить в виде произведения (состоящего только из целых положительных чисел), кроме как:
[простое число] х 1 = [простое число]
Простые и составные
Составные числа — это числа, у которых есть делители, кроме самих себя и 1. Таким образом, все целые положительные числа, кроме 0 и 1, — либо простые, либо составные. Любое составное число можно представить в виде произведения простых сомножителей, то есть его можно разложить на множители, включающие только простые числа. Это наводит на мысль о важности простых чисел: это первичные блоки, из которых можно построить все остальные числа. Распределение простых чисел Теорема о распределении простых чисел, доказанная в XIX в., утверждает, что вероятность того, что случайным образом выбранное число n — простое, везде пропорциональна количеству цифр в нем, или логарифму n. Это означает, что чем больше число, тем меньше вероятность того, что оно будет простым.
Средний интервал между следующими друг за другом простыми числами к n приблизительно равен логарифму n, или ln(n).
Найти простое
Один из способов определения простого числа — «тест простоты». Если n — исследуемое число, то нужно попробовать разделить его на все числа больше 1 и меньше 1/2 n.
Самое большое обнаруженное простое число (на апрель 2015) содержит 17 425 170 знаков, это 2 57 885 161 – 1. Не стоит засиживаться до ночи, пытаясь выяснить следующее, если только вы не специализируетесь на этом, однако Фонд электронных рубежей (Electronic Frontier Foundation) назначил премию за первое простое число минимум в 100 миллионов знаков, а также за первое простое число минимум в пол миллиарда знаков.
Величайшие математические умы, а теперь еще и самые сложные компьютерные программы, давно пытаются найти закономерности в простых числах, но никакой предсказуемой закономерности до сих пор не было обнаружено.
Решето Эратосфена
Древнегреческий математик Евклид Александрийский, живший во II или III вв. до н. э., известен нам как первый человек, который выделил простые числа. Другой древнегреческий математик Эратосфен, II в. до н. э., представил свое так называемое «решето» для установления простых чисел. Оно годится только для относительно малых чисел, но его просто использовать.
Нарисуйте таблицу с 10 колонками и столькими рядами, сколько вам нужно, чтобы вместить числа, которые вы хотите проверить: если вы хотите проверить числа до n, нужно сделать таблицу от 1 до n. Начиная с 4, продвигайтесь по таблице и вычеркивайте все, что делится на 2. Затем вычеркните все, что делится на 3, затем — на 5, затем — на 7 и т. д., прокладывая путь сквозь простые числа. Когда вы доберетесь до делителя 1/2 n – 1, можете остановиться, так как большие числа не могут быть делителем n или меньших чисел. Числа, которые не были зачеркнуты, — простые.
Прискорбное пренебрежение
После Древней Греции и вплоть до XVII в. в интерес к простым числам почти отсутствовал. Даже в XVII в., простые числа не использовались нигде, кроме как в чистой математике, но ими, по крайней мере, стало позволительно поиграть. Они заняли свое законное место в компьютерную эпоху, с появлением необходимости в разработке шифровальных алгоритмов.
Есть работа
Простые числа пребывали в ленивом бездействии, пока не пришла необходимость в шифровании данных. Сейчас мы ежедневно посылаем несметное количество защищенных транзакций и других секретных данных через интернет, а простые числа предоставляют аналог защищенных фургонов, в которых перевозят данные. Начнем, перемножив два очень больших простых числа, чтобы получить составное число:
Составное число используется для генерации кода, который называется открытый ключ, который банк (или кто-нибудь) посылает человеку, желающему зашифровать свои данные. Если вы покупаете что-нибудь онлайн, данные вашей кредитки должны быть зашифрованы с использованием этого публичного ключа, шифрование происходит на вашем конце связи. Зашифрованные данные окажутся пустым набор слов, если будут перехвачены в процессе передачи. Когда данные вашей карты прибывают на другой конец, закрытый ключ — созданный из Р1 и Р2 — используется для расшифровки.
Это работает, так как очень сложно найти простые числа, из которых было получено составное, когда речь идет о больших числах. Любому хакеру понадобится 1000 лет компьютерного времени, чтобы взломать код и найти первоначальные простые числа. Именно потому, что так сложно взломать современный шифр, правительства скорее действительно предпочтут, чтобы разработчики встраивали «бэкдор» в свои системы, что позволяет им порой следить за тем, что делают люди.
Простые числа
Всего получено оценок: 265.
Всего получено оценок: 265.
Простые числа часто вызывают затруднение в теме дробей или определения НОД. На самом деле ничего сложного в этой теме нет, проблему представляет новый для учеников подход к решению задач. Разберемся в вопросе подробнее, чтобы не отвлекаться на него в будущем.
Составляющие числа
Любое число можно разложить на составляющие: множители или слагаемые. Но, если слагаемые можно придумывать разные, а наиболее маленьким целым слагаемым будет единица, то как быть с множителями? Ведь в теории можно бесконечно раскладывать число на множители, равные единице – результат от этого не измениться.
Для того, чтобы не допускать недомолвок, были выработаны правила разложения на множители. Их всего два:
Возникает вопрос, какие же числа считать простыми.
Простые числа
По определению простым числом зовется любое число, которое делится только на 1 и на саму себя. То есть в разложении такого числа на множители будет только два значения: само число и 1.
Простые числа используются для нахождения НОК и НОД чисел. Эти показатели, в свою очередь, очень важны для определения знаменателей при сложении или вычитании дробей, а также при определении делимости чисел.
Сложные числа
Если есть простые числа, логично будет предположить, что существуют и сложные. Сложными числами зовутся числа, состоящие из перемноженных простых чисел. Например, числа 2 и 3 являются простыми, так как делятся только на 1 и на самих себя. Значит, если мы их перемножим получится сложное число 6, которое состоит из перемноженных 2 и 3.
Сложные числа иначе зовутся составными, потому что состоят из нескольких простых чисел.
Задача
Весь список простых чисел можно найти в таблице простых чисел. Если числа в таблице нет, то оно считается сложным или составным.
Таблица начинается с числа 2. Это значит, что числа 0 и 1 застыли между понятиями простых и сложных чисел. Число ноль в составе разложения означает, что итогом станет ноль, поэтому его использование понятно. А вот 1 просто не входит в понятие простых чисел, ведь если раскладывать по правилам то получится, что 1=1*1. То есть число делиться на само себя и 1. Но в этом случае мы используем для разложения 2 единицы, что запрещено. Поэтому 1 не относят ни к одной из групп чисел.
Решим небольшую задачу.
Для этого разложим число 27:
А теперь разложим число 1458:
162:3=54 – на этом можно остановить разложение, поскольку уже ясно, что три 3 входит в состав числа. Нужно заметить, что по правилам разложения, мы должны были начинать с деления на число 2. Только когда на 2 делить уже было нельзя, нужно было преступать к 3. Но за счет того, что мы заранее знали, какие числа нам нужно найти в составе разложения, получилось сэкономить время на решении.
Задача решена и это главное, если при этом удалось сэкономить время, то у ученика останется больше времени для решения других задач.
Что мы узнали?
Мы поговорили о понятии простых чисел. Рассказали, откуда взялось такое разделение на числа и зачем оно нужно. Поговорили о числах, которые в это разделение не входят. Решили небольшую задачу на использование простых чисел и показали, как можно сэкономить время на решении таких задач.