Силы тяготения являются консервативными. Это значит, что работа в поле этих сил пропорциональна произведению масс m и M материальных точек и зависит только от начального и конечного положения этих точек. Покажем это на простом примере (рис. 7.2).
Определим работу, совершенную силами поля тяготения при перемещении в нём материальной точки массой m (работу по удалению материальной точки массой m от Земли массой M на расстояние r).
На данную точку в положении 1 действует сила .
рис. 7.2
При перемещении этой точки на расстояние dr, совершается работа
Из (7.3.1) следует, что работа А, совершенная консервативными силами, равна уменьшению потенциальной энергии системы.
В нашем случае работа равна уменьшению потенциальной энергии U материальной точки, перемещающейся в поле тяготения.
Рис. 7.3
Принято считать, что потенциальная энергия на поверхности Земли равна нулю. Штрихованной линией показана потенциальная энергия внутри Земли. При r = 0 в центре Земли
Если условиться считать, что потенциальная энергия точки m стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от источника поля точки M, тогда
и ,
или, в силу произвольности выбора точки 1,
Величина φ, равная отношению потенциальной энергии матери-альной точки в поле тяготения к массе m,
По аналогии с электростатическим полем, роль заряда здесь выполняет масса m.
Потенциал поля тяготения, создаваемый одной материальной точкой с массой M, равен , где r – расстояние от этой точки до рассматриваемой точки поля.
Из сопоставления двух последних соотношений следует
Между двумя характеристиками поля тяготения – напряженностью и потенциалом – существует взаимосвязь.
Вектор напряженности может быть выражен как градиент скалярной функции гравитационного потенциала φ:
Гравитационное поле можно изобразить с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей (рис. 7.4). Эквипотенциальные поверхности – геометрическое место точек с одинаковым потенциалом. Линии напряженности (силовые линии поля) всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Графическая зависимость напряженности гравитационного поля Земли (и ускорения а) от расстояния до центра Земли изображена на рисунке 7.5.
Из рисунка видно, что внутри Земли растет пропорционально r, а вне Земли убывает . Так же и ускорение – внутри Земли; – вне Земли.
Закон всемирного тяготения и механика Ньютона явились величайшим достижением естествознания. Они с большой точностью описывают обширный круг явлений, в том числе движение в иных системах небесных тел – двойных звезд в звездных скоплениях, галактиках. На основе теории тяготения Ньютона было предсказано существование планеты Нептун, спутников Сириуса и др. В астрономии закон тяготения Ньютона является фундаментом, на основе которого вычисляются движение, строение и эволюция небесных тел. Однако, в некоторых случаях, поле тяготения и движение физических объектов в полях тяготения не может быть описано законами Ньютона. Сильные гравитационные поля и движение в них с большими скоростями описываются в общей теории относительности (ОТО), созданной А. Эйнштейном.
В чём выражается гравитационное взаимодействие тел? Как доказать наличие взаимодействия Земли и, например, учебника физики?
Как известно, сила тяжести — консервативная сила. Теперь найдём выражение для работы силы тяготения и докажем, что работа этой силы не зависит от формы траектории, т. е. что сила тяготения также консервативная сила.
Напомним, что работа консервативной силы по замкнутому контуру равна нулю.
Пусть тело массой m находится в поле тяготения Земли. Очевидно, что размеры этого тела малы по сравнению с размерами Земли, поэтому его можно считать материальной точкой. На тело действует сила тяготения
где G — гравитационная постоянная, М — масса Земли, r — расстояние, на котором находится тело от центра Земли.
Пусть тело перемещается из положения А в положение В по разным траекториям: 1) по прямой АВ; 2) по кривой АА’В’В; 3) по кривой АСВ (рис. 5.15)
1. Рассмотрим первый случай. Сила тяготения, действующая на тело, непрерывно уменьшается, поэтому рассмотрим работу этой силы на малом перемещении Δri = ri + 1 — ri. Среднее значение силы тяготения равно:
Чем меньше Δri, тем более справедливо написанное выражение r 2 сpi = riri + 1.
Тогда работу силы Fсpi, на малом перемещении Δri, можно записать в виде
Суммарная работа силы тяготения при перемещении тела из точки А в точку В равна:
2. При движении тела по траектории АА’В’В (см. рис. 5.15) очевидно, что работа силы тяготения на участках АА’ и В’В равна нулю, так как сила тяготения направлена к точке О и перпендикулярна любому малому перемещению по дуге окружности. Следовательно, работа будет также определяться выражением (5.31).
3. Определим работу силы тяготения при движении тела от точки А к точке В по траектории АСВ (см. рис. 5.15). Работа силы тяготения на малом перемещении Δsi равна ΔАi = FсрiΔsicosαi.
Итак, можно сделать вывод, что А1 = А2 = А3, т. е. что работа силы тяготения не зависит от формы траектории. Очевидно, что работа силы тяготения при перемещении тела по замкнутой траектории АА’В’ВА равна нулю.
Сила тяготения — консервативная сила.
Изменение потенциальной энергии равно работе силы тяготения, взятой с обратным знаком:
Если выбрать нулевой уровень потенциальной энергии на бесконечности, т. е. ЕпВ = 0 при rВ → ∞, то следовательно,
Потенциальная энергия тела массой m, находящегося на расстоянии r от центра Земли, равна:
Закон сохранения энергии для тела массой m, движущегося в поле тяготения, имеет вид
где υ1 — скорость тела на расстоянии r1 от центра Земли, υ2 — скорость тела на расстоянии r2 от центра Земли.
Определим, какую минимальную скорость надо сообщить телу вблизи поверхности Земли, чтобы оно в отсутствие сопротивления воздуха могло удалиться от неё за пределы сил земного притяжения.
Минимальную скорость, при которой тело в отсутствие сопротивления воздуха может удалиться за пределы сил земного притяжения, называют второй космической скоростью для Земли.
На тело со стороны Земли действует сила тяготения, которая зависит от расстояния центра масс этого тела до центра масс Земли. Поскольку неконсервативных сил нет, полная механическая энергия тела сохраняется. Внутренняя потенциальная энергия тела остаётся постоянной, так как оно не деформируется. Согласно закону сохранения механической энергии
На поверхности Земли тело обладает и кинетической, и потенциальной энергией:
где υII — вторая космическая скорость, М3 и Я3 — соответственно масса и радиус Земли.
В бесконечно удаленной точке, т. е. при r → ∞, потенциальная энергия тела равна нулю (Wп = 0), а так как нас интересует минимальная скорость, то и кинетическая энергия также должна быть равна нулю: Wк = 0.
Из закона сохранения энергии следует:
Эту скорость можно выразить через ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли (при расчётах, как правило, этим выражением пользоваться удобнее). Поскольку то GM3 = gR 2 3.
Следовательно, искомая скорость
Точно такую же скорость приобрело бы тело, упавшее на Землю с бесконечно большой высоты, если бы не было сопротивления воздуха. Заметим, что вторая космическая скорость в раза больше, чем первая.
Все тела обладающие массой притягиваются друг к другу. Исаак Ньютон на основе многолетних данных астрономических наблюдений и законов динамики сформулировал закон всемирного тяготения : две любые материальные точки массами m 1 и m 2 притягиваются друг к другу вдоль линии соединяющей точки с силой прямо пропорциональной произведению масс точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния (r) между ними:
Земля не является «материальной точкой» для тел, расположенных на ее поверхности. Теоретически доказано, что сила, с которой Земля притягивает тела, расположенные вне ее, равна силе, которую создавала бы материальная точка массой (М), равной массе Земли, и расположенная в центре Земли. Назовем силой тяжести силу, с которой тело взаимодействует с планетой, вблизи которой оно находится.
В соответствии с законом всемирного тяготения на материальную точку массой (m) со стороны Земли будет действовать сила тяжести, равная
Если тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести, то вес тела будет равен нулю:
1) вес тела равен нулю когда тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести ( ) в лифте вертикально вниз;
Закон всемирного тяготения определяет величину и направление силы всемирного тяготения, но не отвечает на вопрос как осуществляется это взаимодействие. Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля.
1. Напряженность гравитационного поля ( ), силовая характеристика поля, равна силе, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой (это ничто иное как ускорение, с которым тело движется в поле тяготения):
Независимо от своей массы все тела под действием силы тяжести движутся с одинаковым ускорением ( )
Единица измерения [φ]=Дж/кг.
Потенциальная энергия тела в гравитационном поле равна:
Тогда работа гравитационного поля по перемещению тела из точки с потенциалом φ 1 в точку с потенциалом φ 2 равна:
Работа гравитационного поля по перемещению тела между двумя точками не зависит от траектории движения тела, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек, на замкнутом пути работа гравитационного поля равна нулю. То есть, сила всемирного тяготения и сила тяжести являются консервативными.
В качестве примера рассмотрим гравитационное поле материальной точки.
Наглядную картину поля представляет набор линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей, например, гравитационное поле материальной точки представлено на рисунке (1.8.2).
Мы уже упоминали, что гравитационное поле Земли можно рассматривать, как поле материальной точки расположенной в центре Земли. Тогда потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h относительно Земли:
Потенциальная энергия тела на высоте h над поверхностью Земли, равна:
Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом и напряженностью поля тяготения.
Элементарная работа, совершаемая полем при малом перемещении тела массой (m), равна
Величина dφ/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения, это ничто иное, как градиент потенциала.
Таким образом, напряженность гравитационного поля численно равна градиенту потенциала гравитационного поля и направлена в сторону его уменьшения:
На Земле приблизительно инерциальными являются системы отсчета, которые покоятся или движутся равномерно и прямолинейно относительно точек на поверхности Земли.
Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, рассматривают три варианта проявления этих сил.
1. Сила инерции возникает при ускоренном поступательном движении системы отсчета и направлена против вектора ускорения неинерциальной системы отсчета :
Действию центробежной силы инерции подвергаются пассажиры в движущемся транспорте на поворотах; летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах, где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов) принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции.
равна произведению удвоенной массы тела на векторное произведение скорости поступательного движения тела относительно системы отсчета и угловой скорости вращения системы отсчета. Эта сила направлена перпендикулярно векторам скорости тела и угловой скорости вращения системы в соответствии с правилом правого винта.
Земля представляет собой вращающуюся систему отсчета и действие силы Кориолиса объясняет ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис.1.8.4), то сила Кориолиса будет направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на восток. Если тело движется в юг, то сила Кориолиса также направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к направлению движения.
Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета : произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции):
Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета, поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона. Два основных положения механики: 1) ускорение всегда вызывается силой; 2) сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в неинерциальных системах отсчета одновременно не выполняются.
Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета, в инерциальных системах отсчета таких сил не существует.
Все тела независимо от их масс и химического состава, получают в данном гравитационном поле одинаковые ускорения. Поэтому в таком поле они движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают свободно движущиеся тела, если их движение рассматривать относительно какой-либо неинерциальной системы отсчета.
Силы инерции, действующие на тела неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Поэтому в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия.
Все механические явления и движения в лифте будут в точности такими же, что и в неподвижном лифте, висящем в поле тяжести.
Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.
Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.
Принципа эквивалентности Эйнштейна: все физические явления в поле сил тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы.
Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции можно рассматривать как принцип эквивалентности гравитационной и инерционной масс тела.
:
потенциальная энергия П2 = 0.
Потенциал поля тяготения:
является
(вытекает из полученного выше)
(dl – элементарное перемещение)
, откуда 
,
и 
, то, учитывая, что h
.
и 
,
, где r – расстояние от этой точки до рассматриваемой точки поля.
может быть выражен как градиент скалярной функции гравитационного потенциала φ:
(силовые линии поля) всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
. Так же и ускорение 
– внутри Земли; 
– вне Земли.
описываются в общей теории относительности (ОТО), созданной А. Эйнштейном.
следовательно, 
то GM3 = gR 2 3.
раза больше, чем первая.