потолок числа пол числа

Целая часть

Содержание

Обозначения и примеры [ | ]

Определения [ | ]

Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число): [7]

Свойства [ | ]

Пол и потолок как функции вещественной переменной [ | ]

Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:

Функции пол и потолок разрывны: во всех целочисленных точках терпят разрывы первого рода со скачком, равным единице.

При этом функция пол является:

Функция потолок является:

Связь функций пол и потолок [ | ]

Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:

Пол/потолок: неравенства [ | ]

Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами [7] :

n ⩽ x ⟺ n ⩽ ⌊ x ⌋ x ⩽ n ⟺ ⌈ x ⌉ ⩽ n n x ⟺ n ⌈ x ⌉ x n ⟺ ⌊ x ⌋ n <\displaystyle <\beginn\leqslant x&\Longleftrightarrow &n\leqslant \lfloor x\rfloor &\qquad x\leqslant n&\Longleftrightarrow &\lceil x\rceil \leqslant n\\n

Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.

Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:

Пол/потолок: сложение [ | ]

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка [9] :

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

Пол/потолок под знаком функции [ | ]

Имеет место следующее предложение: [10]

Пол/потолок: суммы [ | ]

n = ⌊ n m ⌋ + ⌊ n + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ n + m − 1 m ⌋ <\displaystyle n=\left\lfloor <\frac >\right\rfloor +\left\lfloor <\frac >\right\rfloor +\dots +\left\lfloor <\frac >\right\rfloor >

⌊ m x ⌋ = ⌊ x ⌋ + ⌊ x + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ x + m − 1 m ⌋ <\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+<\frac <1>>\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+<\frac >\right\rfloor >

Имеет место более общее соотношение [12] :

Разложимость в ряд [ | ]

Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:

где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду

Применение [ | ]

Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.

Количество цифр в записи числа [ | ]

Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно [13]

Округление [ | ]

Бинарная операция mod [ | ]

x mod y = x − y ⌊ x / y ⌋ <\displaystyle x\,<\bmod <\,>>y=x-y\lfloor x/y\rfloor >

Дробная часть [ | ]

Количество целых точек промежутка [ | ]

В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно

Теорема Рэлея о спектре [ | ]

Тогда в ряду чисел

называемые последовательностями Битти, образуют разбиение натурального ряда. [16]

В информатике [ | ]

В языках программирования [ | ]

Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil().

В системах вёрстки [ | ]

Источник

Потолок числа

Округление — замена числа на его приближённое значение (с определённой точностью), записанное с меньшим количеством значащих цифр. Модуль разности между заменяемым и заменяющим числом называется ошибкой округления.

Округление применяется для представления значений и результатов вычислений с тем количеством знаков, которое соответствует реальной точности измерений или вычислений, либо той точности, которая требуется в конкретном приложении. Округление в ручных расчётах также может использоваться для упрощения вычислений в тех случаях, когда погрешность, вносимая за счёт ошибки округления, не выходит за границы допустимой погрешности расчёта.

Содержание

Общий порядок округления и терминология [ | ]

Методы [ | ]

В разных сферах могут применяться различные методы округления. Во всех этих методах «лишние» знаки обнуляют (отбрасывают), а предшествующий им знак корректируется по какому-либо правилу.

Варианты округления 0,5 к ближайшему целому [ | ]

Отдельного описания требуют правила округления для специального случая, когда (N+1)-й знак = 5, а последующие знаки равны нулю. Если во всех остальных случаях округление до ближайшего целого обеспечивает меньшую погрешность округления, то данный частный случай характерен тем, что для однократного округления формально безразлично, производить его «вверх» или «вниз» — в обоих случаях вносится погрешность ровно в 1/2 младшего разряда. Существуют следующие варианты правила округления до ближайшего целого для данного случая:

Во всех вариантах в случае, когда (N+1)-й знак не равен 5 или последующие знаки не равны нулю, округление происходит по обычным правилам: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Математическое округление просто формально соответствует общему правилу округления (см. выше). Его недостатком является то, что при округлении большого числа значений, которые далее будут обрабатываться совместно, может происходить накопление ошибки округления. Типичный пример: округление до целых рублей денежных сумм, выражаемых в рублях и копейках. В реестре из 10 000 строк (если считать копеечную часть каждой суммы случайным числом с равномерным распределением, что обычно вполне допустимо) окажется в среднем около 100 строк с суммами, содержащими в части копеек значение 50. При округлении всех таких строк по правилам математического округления «вверх» сумма «итого» по округлённому реестру окажется на 50 рублей больше точной.

Три остальных варианта как раз и придуманы для того, чтобы уменьшить общую погрешность суммы при округлении большого количества значений. Округление «до ближайшего чётного» исходит из предположения, что при большом числе округляемых значений, имеющих 0,5 в округляемом остатке, в среднем половина из них окажется слева, а половина — справа от ближайшего чётного, таким образом, ошибки округления взаимно погасятся. Строго говоря, предположение это верно лишь тогда, когда набор округляемых чисел обладает свойствами случайного ряда, что обычно верно в бухгалтерских приложениях, где речь идёт о ценах, суммах на счетах и так далее. Если же предположение будет нарушено, то и округление «до чётного» может приводить к систематическим ошибкам. Для таких случаев лучше работают два следующих метода.

Два последних варианта округления гарантируют, что примерно половина специальных значений будет округлена в одну сторону, половина — в другую. Но реализация таких методов на практике требует дополнительных усилий по организации вычислительного процесса.

Обозначения [ | ]

В стандарте Юни зафиксированы следующие символы:

Применения [ | ]

Округление используется для того, чтобы работать с числами в пределах того количества знаков, которое соответствует реальной точности параметров вычислений (если эти значения представляют собой измеренные тем или иным образом реальные величины), реально достижимой точности вычислений либо желаемой точности результата. В прошлом округление промежуточных значений и результата имело прикладное значение (так как при расчётах на бумаге или с помощью примитивных устройств типа абака учёт лишних десятичных знаков может серьёзно увеличить объём работы). Сейчас оно остаётся элементом научной и инженерной культуры. В бухгалтерских приложениях, кроме того, использование округлений, в том числе промежуточных, может требоваться для защиты от вычислительных ошибок, связанных с конечной разрядностью вычислительных устройств.

Округление при работе с числами ограниченной точности [ | ]

Реальные физические величины всегда измеряются с некоторой конечной точностью, которая зависит от приборов и методов измерения и оценивается максимальным относительным или абсолютным отклонением неизвестного истинного значения от измеренного, что в десятичном представлении значения соответствует либо определённому числу значащих цифр, либо определённой позиции в записи числа, все цифры после (правее) которой являются незначащими (лежат в пределах погрешности измерения). Сами измеренные параметры записываются с таким числом знаков, чтобы все цифры были надёжными, возможно, последняя — сомнительной. Погрешность при математических операциях с числами ограниченной точности сохраняется и изменяется по известным математическим законам, поэтому когда в дальнейших вычислениях возникают промежуточные значения и результаты с больши́м числом цифр, из этих цифр только часть являются значимыми. Остальные цифры, присутствуя в значениях, фактически не отражают никакой физической реальности и лишь отнимают время на вычисления. Вследствие этого промежуточные значения и результаты при вычислениях с ограниченной точностью округляют до того количества знаков, которое отражает реальную точность полученных значений. На практике обычно рекомендуется при длинных «цепочных» ручных вычислениях сохранять в промежуточных значениях на одну цифру больше. При использовании компьютера промежуточные округления в научно-технических приложениях чаще всего теряют смысл, и округляется только результат.

Округление рассчитанного значения погрешности [ | ]

Обычно в окончательном значении рассчитанной погрешности оставляют только первые одну-две значащие цифры. По одному из применяемых правил, если значение погрешности начинается с цифр 1 или 2 [5] (по другому правилу — 1, 2 или 3 [6] ), то в нём сохраняют две значащих цифры, в остальных случаях — одну, например: 0,13; 0,26; 0,3; 0,8. То есть каждая декада возможных значений округляемой погрешности разделена на две части. Недостаток этого правила состоит в том, что относительная погрешность округления изменяется значительным скачком при переходе от числа 0,29 к числу 0,3. Для устранения этого предлагается каждую декаду возможных значений погрешности делить на три части с менее резким изменением шага округления. Тогда ряд разрешённых к употреблению округлённых значений погрешности получает вид:

Пересчёт значений физических величин [ | ]

Эмпирические правила арифметики с округлениями [ | ]

В тех случаях, когда нет необходимости в точном учёте вычислительных погрешностей, а требуется лишь приблизительно оценить количество точных цифр в результате расчёта по формуле, можно пользоваться набором простых правил округлённых вычислений [8] :

Несмотря на нестрогость, приведённые правила достаточно хорошо работают на практике, в частности, из-за достаточно высокой вероятности взаимопогашения ошибок, которая при точном учёте погрешностей обычно не учитывается.

Ошибки [ | ]

Довольно часто встречаются злоупотребления некруглыми числами. Например:

Источник

Решение модуля 6.2 «Поколение Python: курс для начинающих»

Очередной модуль, целью которого является проработка различных функций библиотеки math. Решение урока 6.2 из курса «Поколение Python: курс для начинающих».

Евклидово расстояние

Напишите программу определяющую евклидово расстояние между двумя точками, координаты которых заданы.

Формат входных данных
На вход программе подается четыре вещественных числа, каждое на отдельной строке – x_<1>, \, y_<1>, \, x_<2>, \, y_<2>x1​,y1​,x2​,y2​​.

Формат выходных данных
Программа должна вывести одно число – евклидово расстояние.

Напишите программу определяющую площадь круга и длину окружности по заданному радиусу RR.

Формат входных данных
На вход программе подается одно вещественное число RR​.

Формат выходных данных
Программа должна вывести два числа – площадь круга и длину окружности радиуса RR.

В математике выделяют следующие средние значения:

Формат входных данных
На вход программе подается два вещественных числа aa и bb​, каждое на отдельной строке.

Формат выходных данных
Программа должна вывести 4 числа – среднее арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратичное.

Тригонометрическое выражение

Напишите программу, вычисляющую значение тригонометрического выражения\sin x + \cos x + \tan^2 xsinx+cosx+tan2x по заданному числу градусов xx.

Формат входных данных
На вход программе подается одно вещественное число xx измеряемое в градусах​.

Формат выходных данных
Программа должна вывести одно число – значение тригонометрического выражения.

Примечание 1. Тригонометрические функции принимают аргумент в радианах. Чтобы перевести градусы в радианы, воспользуйтесь формулой r = <\over 180>r=180x⋅π​

Напишите программу, вычисляющее значение \lceil x\rceil + \lfloor x\rfloor⌈x⌉ +⌊x⌋ по заданному вещественному числу xx.

Формат входных данных
На вход программе подается одно вещественное число xx.

Формат выходных данных
Программа должна вывести одно число – значение указанного выражения.

Примечание. \lceil x\rceil⌈x⌉ – потолок числа, \lfloor x\rfloor⌊x⌋ – пол числа.

Квадратное уравнение 🌶️🌶️

Даны три вещественных числа aa, bb, cc. Напишите программу, которая находит вещественные корни квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.ax2+bx+c=0.Формат входных данных
На вход программе подается три вещественных числа a \neq 0, \, b, \, ca=0,b,c, каждое на отдельной строке.

Формат выходных данных
Программа должна вывести вещественные корни уравнения если они существуют или текст «Нет корней» в противном случае.

Примечание. Если уравнение имеет два корня, то следует вывести их в порядке возрастания.

Правильный многоугольник

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы между смежными сторонами. Площадь правильного многоугольника с длиной стороны aa и количеством сторон nn вычисляется по формуле: S = \dfrac<4\tg \left(\dfrac<\pi>\right)>S=4tg(nπ​)n⋅a2​Даны два числа: натуральное число nn и вещественное число aa. Напишите программу, которая находит площадь указанного правильного многоугольника.

Формат входных данных
На вход программе подается два числа nn и aa, каждое на отдельной строке.

Формат выходных данных
Программа должна вывести вещественное число – площадь многоугольника.

Источник

⌊ Пол числа, левая скобка

U+230A

Нажмите, чтобы скопировать и вставить символ

Техническая информация

Значение символа

Гаусс придумал обозначить целую часть числа квадратными скобками: [x].

В программировании встречается несколько разных целых частей. Кеннет Айверсон, в языке программирования APL, обозначил как ⌈x⌉ «потолок» числа (округление до целого в большую сторону) и ⌊x⌋ — «пол» числа (округление до целого в меньшую сторону).

Символ «Пол числа, левая скобка» был утвержден как часть Юникода версии 1.1 в 1993 г.

Свойства

Похожие символы

Левая круглая скобка

Пол числа, правая скобка

Левосторонняя белая квадратная скобка

Левосторонняя белая двояковыпуклая.

Левосторонняя скобка в виде панцыря.

Левая двойная угловая скобка

Левосторонняя скобка черная.

Левая угловая скобка

Потолок числа, левая скобка

Левая квадратная скобка с чертой

z-нотация, левая связывающая скобка

z-нотация, левая фигурная скобка

Математическая левая двойная угловая.

Левая двойная круглая скобка

Кодировка

Наборы с этим символом:

© Таблица символов Юникода, 2012–2021.
Юникод® — это зарегистрированная торговая марка консорциума Юникод в США и других странах. Этот сайт никак не связан с консорциумом Юникод. Официальный сайт Юникода располагается по адресу www.unicode.org.

Мы используем 🍪cookie, чтобы сделать сайт максимально удобным для вас. Подробнее

Источник

⌉ Потолок числа, правая скобка

U+2309

Нажмите, чтобы скопировать и вставить символ

Техническая информация

Значение символа

Гаусс придумал обозначить целую часть числа квадратными скобками: [x].

В программировании встречается несколько разных целых частей. Кеннет Айверсон, в языке программирования APL, обозначил как ⌈x⌉ «потолок» числа (округление до целого в большую сторону) и ⌊x⌋ — «пол» числа (округление до целого в меньшую сторону).

Символ «Потолок числа, правая скобка» был утвержден как часть Юникода версии 1.1 в 1993 г.

Свойства

Похожие символы

форма представления для вертикальной.

Пол числа, правая скобка

Математическая правая незакрашенная.

Математическая правая угловая скобка

Правая квадратная скобка с небольшой.

Правая незакрашенная изогнутая скобка

Правая незакрашенная круглая скобка

Правая закрашенная панцерообразная.

Правая двойная круглая скобка

Маленькая правая черепашья скобка

Математическая правая двойная угловая.

Маленькая правая фигурная скобка

z-нотация, правая фигурная скобка

z-нотация, правая связывающая скобка

Потолок числа, левая скобка

Кодировка

Наборы с этим символом:

© Таблица символов Юникода, 2012–2021.
Юникод® — это зарегистрированная торговая марка консорциума Юникод в США и других странах. Этот сайт никак не связан с консорциумом Юникод. Официальный сайт Юникода располагается по адресу www.unicode.org.

Мы используем 🍪cookie, чтобы сделать сайт максимально удобным для вас. Подробнее

Источник