поле равномерно заряженного кольца

Поле равномерно заряженного кольца

Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского –Гаусса

Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности.

Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).

Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).


Рис. 2.11	Рис. 2.12

Тогда

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости

Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей .

Тогда внутри плоскостей

Вне плоскостей напряженность поля

Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):

Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.

Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:

где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. , то

Это формула для расчета пондермоторной силы.

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.

Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда

Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.

Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

Поле заряженного пустотелого шара

Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, – в любой точке проходит через центр шара. ,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).

Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда

откуда поле вне сферы:

Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:

Как видно из (2.5.7) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.

Поле объемного заряженного шара

Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:

Но внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный

где ρ – объемная плотность заряда, равная: ; – объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:

Таким образом, внутри шара

Источник

Пример расчета напряженности Электрического поля равномерно заряженного тонкого кольца

Векторы напряжённости электрического поля каждого из этих зарядов одинаковы по модулю и направлены так, что концы этих векторов образуют конус с вершиной в точке A (штриховой линией показано основание этого конуса). Проекции этих векторов на плоскость кольца компенсируются, поэтому суммарный вектор направлен вдоль оси z: E (при z > 0). Вычислим Ez. Напряжённость поля точечного заряда:

Величины r иθ (угол) одинаковы для всех элементов dq:

подставим

В этом выражении все величины – постоянные, кроме dq. Проинтегрируем по q:

Поток вектора напряженности. Теорема Остроградского-Гауса для электростатического поля в вакууме. Применение теоремы к расчету напряженности поля. Пример: поле бесконечно большой равномерно заряженной плоскости.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток вектора напряженности электрического поля(Φ).

Элементарный поток направлен по внешней нормали к малому участку dS (Если поверхность S не замкнута, то выбор одного из двух направлений нормали произволен, при этом направление нормали для всех участков dSдолжно быть одинаковым)

Полный поток вектора сквозь поверхность S E

Теорема Остроградского-Гаусса для :поток вектора напряжённости электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченной этой поверхностью, делённой на ε0:

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости:
, где — поверхностная плотность заряда.

Работа сил электростатического поля по перемещению заряда. Потенциал электростатического поля. Связь между напряженностью поля и потенциалом. Понятие градиента. Методы расчета потенциала. Пример: потенциал на оси равномерно заряженного кольца.

I уравнение Максвелла для электростатического поля умножим на пробный заряд q0:

Работа электростатического поля по перемещению пробного заряда по произвольной замкнутой траектории равна нулю. Это означает, что электростатическое поле потенциально. Потенциальная энергиязаряженной частицы в электростатическом поле равна работе внешних сил при перемещении этой частицы из точки, где потенциальная энергия принята равной нулю, в данную точку, или работе поля при этом перемещении: .Потенциальная энергия – характеристика и поля, и заряда:

Потенциалом электростатического поля [φ] = В (вольт) называется физическая величина, равная отношению потенциальной энергии заряда q₀ в данной точке пространства, к величине этого заряда.

Разность потенциалов – это работа поля по перемещению пробного заряда из начального положения в конечное, отнесённая к модулю этого заряда и взятая с обратным знаком, или работа внешних сил при том же перемещении, отнесённая к модулю пробного заряда.

Дата добавления: 2016-07-05 ; просмотров: 13143 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Напряженность кольца

Рассмотрим кольцо радиусом R, равномерно заряженное с линейной плотностью . Найдем напряженность поля в точке, расположенной на оси кольца на расстоянии h от его центра.
Напряженность поля элементарного заряда равна . При интегрировании необходимо учесть осевую симметрию, которая приводит к равенству нулю интеграла . Из рисунка видно, что , а , тогда .
Чтобы найти напряженность поля в центре кольца положим h = 0, тогда напряженность в центре кольца равна нулю.

Страница обновлена: 05.02.2018

Отзывы и пожелания можно направлять по адресу energ2010@yandex.ru

Информация предоставлена для ознакомления и не является официальным источником.

Источник

и его емкость: .

Если заряд (или систему зарядов) поместить у безграничной проводящей незаряженной плоскости, то между ними возникнет взаимодействие вследствие появления на этой плоскости индуцированных зарядов.

Поле в полупространстве, где расположен заряд, можно найти как сумму полей исходного заряда и «заряда-изображения» в данной плоскости. «Заряд-изображение» ищется из условия, что потенциал результирующего поля на проводящей поверхности должен обратиться в 0.

Емкостью системы проводников называется

, если проводники имеют заряды q разного знака.

Емкость плоского конденсатора: , где S – площадь его пластин, d – расстояние между ними.

При последовательном соединении конденсаторов емкость системы определяется:

Примеры решения задач

Задача №1

Находящаяся в вакууме круглая очень тонкая пластинка радиуса R равномерно заряжена с поверхностной плотностью s. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния х от ее центра.

Потенциал в точке А, расположенной на оси на расстоянии х от центра пластинки будем искать как потенциал системы зарядов .

Разобьем пластинку на тонкие кольца радиуса r и толщины dr. На этом кольце расположен заряд . В точке А он создает поле с потенциалом

где сделана замена:

Из симметрии задачи следует, что напряженность поля пластинки в точке А будет направлена по оси х.

Учитывая связь между напряженностью и потенциалом , будем искать Е как

Задача №2

Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет заряд q. Кольцо расположено параллельно безграничной проводящей плоскости на расстоянии а от нее. Найти потенциал в центре кольца и поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично относительно кольца.

«Зарядом-изображением» будет кольцо зарядом –q, расположенное на расстоянии а по другую сторону плоскости. Поле в полупространстве, содержащем заданное кольцо, будет определяться этим кольцом и его «изображением».

Найдем потенциал системы зарядов:

Разобьем данный интеграл на 2:

– для элементарных зарядов первого и второго колец.

Чтобы найти поверхностную плотность зарядов на плоскости в точке О, найдем там напряженность поля, которая у поверхности проводника определяется:

Поле в точке О складывается из поля кольца заряда q и его «изображения». Эти поля одинаковы по величине и направлены в одну сторону. Таким образом,

(см. задачу 2 из урока 1).

Направление напряженности поля у поверхности проводника в точке О указывает на отрицательный знак поверхностной плотности индуцированного заряда. Ее величина найдется как

Задача №3

Точечный заряд q находится на расстоянии l от безграничной проводящей плоскости. Найти работу, которую совершит электрическая сила, действующая на заряд q при его медленном удалении на очень большое расстояние от плоскости.

По определению работа этой силы при элементарном перемещении dx:

где выражение для силы получено с помощью метода изображений. Проинтегрировав это уравнение по x от l до ¥, найдем

Замечание. Попытка решить эту задачу другим способом – через потенциал – приводит к неверному результату. Это связано с тем, что соотношение справедливо только для потенциального поля. В системе же отсчета, связанной с проводящей плоскостью, электрическое поле индуцированных зарядов не потенциально: перемещение заряда q приводит к изменению распределения индуцированных зарядов, и их поле оказывается зависящим от времени.

Источник