поле рациональных чисел это

19.10.202315.08.2023 admin 0 Comments

ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Операции над рациональными числами выполняются по правилам:

; ; .

Несложно проверить, что описанное множество дробей обладает структурой поля. Данное поле называется полем рациональных чисел и обозначается символом Q. Любое целое число также является рациональным, исходя из соотношения а = . Таким образом, N Ì Z Ì Q.

Возможны также и иные подходы к построению понятия поля рациональных чисел, эквивалентные данному. В частности можно определить поле рациональных чисел как минимальное поле, содержащее в себе в качестве подкольца кольцо целых чисел.

Определение 1. Полем рациональных чисел называется минимальное поле, содержащее в себе кольцо целых чисел.

Определение 2. Полем рациональных чисел называется поле, элементами которого являются все возможные решения уравнения a × x = b, где а и b – произвольные целые числа, а ¹ 0.

Теорема 1. Определения 1 и 2 эквивалентны.

С другой стороны Q₂ содержит в себе кольцо целых чисел, так как любое целое число n всегда является решением уравнения

а значит Q₁ Í Q₂, так как Q₁ является минимальным полем, содержащим в себе кольцо целых чисел, то есть Q₂ = Q₁, теорема доказана.

Иногда в качестве дополнительного требования к определению рациональных дробей выдвигают то, чтобы числитель и знаменатель были числами взаимно простыми (то есть а и b не должны делиться одновременно ни на какое натуральное число кроме 1). В таком случае дробь называется несократимой. Данное различие в определениях не приводит к расширению или сужению рассматриваемого множества, так как во множестве рациональных чисел имеет место закон сокращения: (разумеется, с не равно нулю, иначе первая дробь не имеет смысла). Действительно, если дробь является решением уравнения ах = b, то умножая обе части этого уравнения на с, получаем уравнение acx = bc, равносильное исходному (при с ≠ 0), то есть будет и решением нового уравнения. Согласно же введённому определению, решением уравнения acx = bc будет дробь . В свою очередь, из свойств полей известно, что решение такого уравнения единственно (при ас ≠ 0), а, следовательно, .

Построенное определение поля рациональных чисел является аксиоматическим (аксиомами являются все аксиомы поля, а первичными терминами понятия отношений, дробей или в других обозначениях – поле частных области целостности).

Теорема 2. Аксиоматическая теория рациональных чисел непротиворечива.

Для доказательства необходимо построить модель, пользуясь заведомо непротиворечивой теорией (в нашем случае это будет аксиоматическая теория целых чисел).

Введённое отношение является отношением эквивалентности, то есть рефлексивно симметрично и транзитивно.

Складывая полученные равенства, получим:

Таким образом, корректность введённых определений доказана.

Далее проверяются все свойства полей: замкнутость относительно данных операций (вторая компонента не равна нулю в обоих случаях, так как целые числа область целостности), ассоциативный закон сложения и умножения для классов пар, коммутативный закон сложения, дистрибутивные законы, а также то, что класс пар вида [ ], есть нейтральный элемент по сложению, а противоположным к классу пар [] является класс [ ], роль 1 играет класс пар вида [ ], а обратным к классу пар [] является класс [ ] (для ненулевого класса, то есть класса где а отлично от 0).

Таким образом, модель поля рациональных чисел построена, а, следовательно, аксиоматическая теория рациональных чисел непротиворечива, если непротиворечива аксиоматическая теория целых чисел. Построенное поле содержит в себе кольцо целых чисел, если каждому целому числу а поставить в соответствие класс пар []. Элементарные вычисления показывают, что все операции при этом сохраняются.

Так как всякое поле является кольцом, для доказательства упорядоченности поля рациональных чисел достаточно доказать то, что оно является расположенным кольцом.

Теорема 1. Поле рациональных чисел является расположенным кольцом.

Доказательство: Любое рациональное число есть отношение (a, b Î Z, a ≠ 0). Введём определение «быть больше нуля» для рациональных чисел по правилу

> 0 ó аb > 0.

Пусть теперь вновь > 0 и > 0, докажем, что × = >0. Для этого достаточно умножить целое число аb > 0 на целое число cd > 0, получим

acbd > 0, то есть × = >0.

Таким образом, все условия расположенного кольца выполняются для любых двух рациональных чисел и , а значит поле рациональных чисел является упорядоченным, а также все свойства расположенных колец выполняются также и для рациональных чисел.

В частности > ó – >0, то есть > 0. Если считать, что знаменатели являются числами натуральными, то это условие эквивалентно условию ad – bc > 0 или ad > bc.

Заметим, что множество рациональных чисел свойством дискретности не обладает.

Определение: Упорядоченное множество называется всюду плотным если между любыми двумя его элементами существует ещё один его элемент из того же множества.

Заметим, что если число не представлено в виде отношения двух целых чисел, то было бы ошибкой считать, что оно не является рациональным. существуют различные способы записи рациональных чисел, и некоторые числа, которые на первый взгляд могут показаться иррациональными, на самом деле, после осуществления некоторых преобразований оказываются рациональными. Например, число 2,1324242424… = 2,13(24) – бесконечная периодическая дробь, является числом рациональным (повторяющиеся цифры, заключённые в скобки называются периодом данной дроби, а цифры, стоящие после запятой, но до скобок, называются предпериодом). Установить рациональность данного числа позволяет следующая теорема.

Теорема 4. Любую периодическую десятичную дробь можно представить обыкновенной дробью (любая периодическая дробь является рациональным числом).

Доказательство: Пусть число имеет вид а₀,а₁а₂…а_m(b₁…b_k) (m цифр в предпериоде и k цифр в периоде).

= а₀ + + + … + + + +… + + +… + +…

Рассмотрим отдельно сумму

+ +… + + + +… + +… = + + …

(выражения в числителях правой части надо, разумеется, понимать как десятичную запись целого числа, соответствующего выражению в периоде, а не как произведение). Она образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом + +…+ и периодом . По известной формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (S = )

+ + +…= =

Таким образом, мы представили наше число

а₀,а₁ а₂…а_m(b₁…b_k) = а₀ + + + … + + в виде суммы рациональных чисел, которая, в свою очередь, сама является рациональным числом.

Заметим, что число 10 k – 1 представляет собой k девяток, а умножение на 10 m соответствует дописыванию m нулей. Отсюда получаем правило перевода периодических дробей в обыкновенные: сначала отделяется непериодическая часть числа (перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные не представляет сложности и изучается в школьном курсе), при переводе периодической части в числитель записывают цифры периода, а в знаменатель – столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр в предпериоде.

Пример 1: 2,3(42) = 2 + + = .

Число – также является рациональным, так как

– = – = – =

= – = – = 1 Î Q.

При выяснении вопроса о рациональности выражений, содержащих радикалы полезно применять следующую теорему, известную из курса алгебры.

Теорема 5. Если рациональное число (где ри q – взаимно простые целые числа) является корнем многочлена с целыми коэффициентами f(x), то p является делителем свободного члена, а q – делителем старшего коэффициента.

Приведем пример применения данной теоремы.

Пример 2: Доказать, что число + – рационально.

Решение: Обозначим данное число буквой а и возведём обе части полученного равенства в куб.

+ = а

( + ) 3 = а 3

10 + 6 + 3( ) 2 + 3 ( ) 2 + 10 –6 = а 3

20 + 3 ( + ) = а 3

Заметим, что выражение в скобках равно исходному числу, то есть а. Заменим его, а также запишем выражение перед скобками под общим корнем и применим формулу сокращённого умножения:

20 + 3 а = а 3

По теореме 5, если данный многочлен имеет рациональный корень, то его числитель будет делителем числа 20 (это могут быть ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20), а знаменатель – делителем старшего коэффициента, то есть в нашем случае единицы (так как знаменатель должен быть числом натуральным, единственным возможным знаменателем является 1). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что а = 2 является корнем данного уравнения. Далее

а 3 + 6а – 20 = а 3 – 8 + 6а – 12 = (а – 2)(а 2 + 2а + 4) + 6 (а – 2) =

Второй множитель имеет отрицательный дискриминант, поэтому других действительных корней у многочлена а 3 + 6а – 20 (отметим, что разложение можно было бы получить делением многочлена а 3 + 6а – 20 на а – 2). Число же а = + является действительным, поэтому

а = + = 2 Î Q.

Тот же результат можно было бы получить и свернув подкоренные выражения по формулам куб суммы и куб разности.

Задания для самостоятельного решения

№2.15. Доказать свойства рациональных чисел:

а) ×с = ; б) : с = .