поле простейшие свойства поля

Простейшие свойства полей

Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:

1) Р – аддитивная абелева группа, то есть

3) в Р выполняются дистрибутивные законы: для любых a, b, c∈Р (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c (правая дистрибутивность) и с⋅(a+b)=c⋅a+c⋅b (левая дистрибутивность).

Замечание 12. Из условий 1) и 3) следует, что Р – кольцо. Из условия 2), что Р – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, причем любой ненулевой элемент в Р обратим. Таким образом, определение поля можно сформулировать следующим образом:

Определение 36′. Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.

Пример 6. ℚ, ℝ, ℂ – поля, ℤ полем не является.

Простейшие свойства полей

Свойство 1. Так как поле является кольцом, то для него выполняются все свойства колец.

Свойство 2. В поле нет делителей нуля.

Свойство 3. Пусть Р – поле, a, b∈P, а≠0. Тогда уравнение a⋅x=b (x⋅a=b) имеет в Р единственное решение.

Доказательство. При b≠0 это свойство мультипликативной группы. Если b=0, то получим a⋅x=0 (x⋅a=0). Так как, по свойству 2, в поле нет делителей нуля, то x=0 – единственное решение данного уравнения.

Свойство 4. Пусть Р – поле. Тогда справедливы следующие равенства

1) для любых a, b, c, d∈P, b≠0, d≠0 ;

2) для любых a, b, c, d∈P, b≠0, d≠0 ;

3) если , то .

Доказательство. 1) Пусть и – решения уравнений b⋅x=a и d⋅y=c соответственно. Умножим первое уравнение на d, а второе – на b. Получим, d⋅b⋅x=d⋅a и b⋅d⋅y=b⋅c. Следовательно, d⋅b(x+y)=d⋅a+b⋅c и – единственное решение уравнения b⋅d⋅t=d⋅a+b⋅c.

2) Пусть a, b, c, d∈P, b≠0, d≠0. Тогда имеем .

3) Покажем, что , то есть что – обратный элемент для элемента . Так как , то существует. Тогда, в силу 2) и замечания 13, получим . Значит, .

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами

В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций.. На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и.. Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Простейшие свойства полей

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Диаграммы Эйлера-Венна
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо

Свойства операций над множествами
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А. Теорема 1. Пусть

Прямое (декартово) произведение множеств
Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое AB (читается

Бинарные отношения между множествами
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар. В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам

Фактормножество
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А. Опр

Упорядоченное множество
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А. Определение 31. Би

Функция как бинарное отношение
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)

Обратимое отображение
Определение 52. Отображение называется тождественным (или единичным), если

Метод математической индукции
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв

Свойства бинарных операций
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М

Простейшие свойства групп
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

Подгруппа. Критерий подгруппы
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп
Теорема 8. Пусть – некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A=я

Простейшие свойства колец
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак

Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K

Изоморфизм полей
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т

Поля комплексных чисел
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас

Комплексного числа
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму

В тригонометрической форме
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Доказательство. Пусть z1

Формула Муавра
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3

Формула Муавра
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1

Кольцо многочленов от одной переменной
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2

Многочлена над областью целостности
Теорема 15. Пусть K – область целостности, f(x)=а0+а1х+а2х2+…+аnxn

Основная теорема алгебры
Определение 27. Множество М называется числовым, если Мℂ. Определение 28. Поле

Матрица ступенчатого вида
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:

Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса). Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач

Матричные уравнения
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей. Замечание 9. Если А –

Теорема о четности перестановки
Определение 27. Пусть М=<1,2,…,n>. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл

Определители второго и третьего порядков
Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произ

Определитель произведения матриц
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей

Формула для вычисления обратной матрицы
Теорема 10. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Если определитель

Источник

Группа, кольцо, поле. Простейшие свойства поля. Поле рациональных чисел. Упорядоченное поле

Алгебраической структурой называется множество, на котором задана одна или несколько алгебраических операций.

, т.е. в G сущ. нейтральный элемент относительно этой операции;

3) существует симметричный элемент.

Примеры: рассмотрим множество Z относительно операции сложения

0 – нейтральный элемент
a+(-a)=0

Если в группе G операция * коммутативна, то такая группа называется коммутативной или абелевой.

Также абелевыми группами являются: множество ; ; (рациональных, действительных и комплексных чисел)

не является группой, т.к. нарушено 3 условие (2×½=1, но ½ є Z)

не группа, т.к. не существует обратного элемента для нуля

группа (необходимо выбросить 0, для того чтобы рациональные числа «×» были группой).

Кольца. Множество, в котором заданы 2 алгебраические операции «+» и «×» наз. кольцом, если:

1)относительно «+» это множество является абелевой группой ;

2) «+» и «×» связаны законом дистрибутивности, т.е. (a+b)c=ac+bc (правый закон дистрибутивности) и с(a+b)=ca+cb (левый закон дистрибутивности)

Если «×» коммутативно, то кольцо тоже называется коммутативным.

Если «×» ассоциативно, то кольцо называется ассоциативным.

0 є Z и

2)ab=ba умножение коммутативно; a(bc)=(ab)c – ассоциативно

Не коммутативным, но ассоциативным кольцом является кольцо квадратных матриц.

Рассмотрим матрицу 2-го порядка:

абелева группа; выполняется дистрибутивность относительно сложения

абелева группа (множество матриц по сложению)

– нулевая матрица

– противоположная матрица

≠

Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения: (A+B)C=AC+BC и C(A+B)=CA+CB

В кольцах могут быть делители нуля – это такие элементы a≠0, b≠0, но ab=0.

Существуют кольца как с делителями нуля, так и без делителей нуля. В полях делителей нуля нет.

Если mod простой, то делителей нуля нет.

Делители нуля есть в кольцах матриц: =

Поля. Коммутативное и ассоциативное кольцо с единицей называется полем, если для каждого ненулевого элемента есть обратный.

Наименьшим числовым полем является поле рациональных чисел. Q=

Полями также являются действительные (R) и комплексные (С) числа.

Характеристикой поля называется такое натуральное наименьшее число nєN, что если l=1, то , если такого n не существует, то это поле характеристики 0 (бесконечное поле).

Числовое множество, в котором есть 1 и в котором выполнимы операции «+», «×» и «-», «:» кроме (:0) называется числовым полем.

Полями характеристики 0 являются числовые поля Q, R, C.

Z/p, p – простое число.

Множество классов вычетов по простому полю является полем характеристики p. Поле характеристики p – p различных элементов.

3) если ab=0, то a=0 или b=0;

4) если a0 и b0, то ab0;

5) a/b=c/d тогда и только тогда, когда ad=bc, b0 и d0;

Док-во 1-3:

Поле рациональных чисел. Полем рациональных чисел называется поле частных кольца целых чисел. Элементы поля рациональных чисел называются рациональными числами. Из определения следует, что любое рациональное число можно представить в виде частного целых чисел. Отметим, что любое поле, изоморфное полю рациональных чисел, также является полем рациональных чисел. Отношение порядка на множестве Q рациональных чисел вводится с помощью отношения порядка

5. Если x≤y, то для любого z: x+z≤y+z.

6. Если 0≤x и 0≤y, то 0≤xy.

Если все 6 свойств выполнены, то поле F называется упорядоченным.

Источник

Поле простейшие свойства поля

Полем называется кольцо P, обладающее следующими свойствами:

VII. (Обратимость умножения) Для любых a и b из P, где a ≠ 0, уравнение ax = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что aq = b.

VIII. P содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Примеры полей. Из примеров 1-10 колец (Кольца) только 2, 3 и 4, т. е. рациональные, действительные и комплексные числа, являются полями. В примере 5 свойство VII выполнено, так как вообще нет элемента a ≠ 0, но не выполнено свойство VIII. В остальных примерах не выполняется свойство VII. Приведем еще следующие примеры полей.

1. Множество комплексных чисел a + bi с любыми рациональными a, b.

2. Множество действительных чисел вида с любыми рациональными a и b.

3. Множество всех рациональных функций с действительными коэффициентами от одного или нескольких переменных.

4. Множество из двух элементов, которые обозначим через 0 и 1, при следующем определении операций:

0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1,

0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1.

Все теоремы из раздела Кольца, выведенные для колец, остаются верными, в частности, для полей. Кроме того, из свойства VII вытекают теоремы, аналогичные тем, которые были приведены в разделе Кольца из свойства III.

Источник

ПОЛЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ. ПРИМЕРЫ. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПОЛЕЙ.

Пусть дано непустое множество Р, содержащее по крайней мере 2 различных элемента.

Определение. Непустое множество Р содержащее по крайней мере 2 различных элемента называется полем, если в нём заданы две бинарные алгебраические операции «+» и «*» удовлетворяющие следующим аксиомам:

2) «а, b и с ÎР: а+(b+с)=(а+b)+c

6) «а, b и с ÎР: а(bc)=(ab)c

9) «а, b и с ÎР: а(b+c)= ab+ac

Можно дать следующее определение поля.

Поле – это ассоциативно- коммутативное кольцо с 1 ≠0, в котором для любого ≠0 элемента есть ему обратный.

Множество Р содержащее по крайней мере 2 различных элемента называется полем, если множество отличных от нуля элементов образует мультипликативную абелеву группу, в которой и умножение и сложение связаны дистрибутивным законом.

Справедливы следующие свойства полей:

Т.к. любое поле есть ассоциативно- коммутативное кольцо с 1, то все свойства колец справедливы для любого поля (десять свойств).

Т.к. множество отличных от нуля элементов поля Р образует мультипликативную абелеву группу, то все свойства мультипликативных абелевых групп справедливы в любом поле.

3. в любом поле справедлива операция деления на элементы отличные от нуля – обратная операции сложения

Т.к. а≠Õ, то существует а־¹ из Р

Т.к. а־¹ и b принадлежат Р => a־¹*b принадлежит Р

a־¹*b – решение данного уравнения

Элемент а־¹*b принято обозначать b/a, и называть частным от деления b на а.

4. из ассоциативности операции умножения можно в любом поле однозначно говорить о произведении любого конечного числа из Р.

5. в любом поле справедливо свойство сократимости на элементы отличные от нуля.

«а, b и с ÎР, где а≠0: а*b=a*c => b=c

6. любое поле является областью целостности, т.е. в любом поле нет делителей нуля.

Иначе, в любом поле если произведение двух элементов равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю.

Пусть Р – поле, и а*b=Õ,

Относительно элемента а есть две возможности

1) а=Õ => свойство доказано

2) а≠Õ => существует а־¹ из Р, умножим обе части равенства на а־¹:

Замечание: Доказано, что любое поле есть область целостности.

Множество комплексных чисел С есть поле, а значит область целостности, в С нет делителей нуля. Иначе, если в С произведение чисел равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Любое числовое множество есть подмножество поля С.

Значит на любом числовом множестве нет делителей нуля. На этом свойстве основано решение уравнений у которых левая часть разложена на множители.

7. в любом поле можно ввести целую степень для любого а из Р

а*а*а*…*а (n раз), если n из N

2. достаточность. Дано: ad=bc

a*d=a*d*1̃=a*d*b*b־¹

b*c=b*c*1̃=b*c*d*d־¹ => a*d*b*b־¹= b*c*d*d־¹ => b*d*a*b־¹=b*d*c*d־¹ => a*b־¹=c*d־¹, т.к. b≠Õ, d≠Õ => bd≠Õ => a/b=c/d по свойству сократимости.

ПОДПОЛЕ. КРИТЕРИЙ ПОДПОЛЯ.

Пусть дано произвольно выбранное поле Р. Непустое подмножество Р’ содержащееся в Р, содержит по крайней мере два различных элемента называемое подполем поля Р, если оно само образует поле относительно операций поля Р.

Для того что бы непустое подмножество Р’ поля Р, содержащее по крайней мере два различных элемента, т.е. было подполем поля Р, необходимо и достаточно что бы выполнялись два требования:

1. необходимость очевидна, она следует из определения поля и свойств полей.

2. достаточность. Дано: Р’ содержится в P, P’≠Õ и выполняются требования

Док-ть: Р’ – подполе поля Р.

Что бы доказать, что Р’ подполе поля Р, нужно доказать что Р’ само образует поле относительно операций «+» и «*» определённых в поле Р. Для этого нужно доказать что операции «+» и «*» являются бинарными алгебраическими операциями на множестве Р’, и выполняются аксиомы 1-9. То, что Р’ замкнуто относительно операции сложения, проводится аналогично тому, как это было сделано при доказательстве критерия подкольца, там же была показана выполнимость аксиом 3 и 4 выполняющихся в поле.

Покажем что Р’ замкнуто относительно операции «*»

Возьмём «а ÎР’, а≠Õ. Такое а существует, т.к. в Р’ есть по крайней мере два различных элемента. Тогда а/а Î Р’ по (2), на а/a=1̃ =>1̃ Î Р’.

Выполнилась аксиома 7.

Возьмём любое а из Р’, а≠Õ, 1 принадлежит Р’, тогда 1/a принадлежит Р’ по (2), но 1/a=a־¹ => a־¹ принадлежит Р’.

Выполнилась аксиома 8.

Возьмём » а, b Î Р’, а≠Õ

b/(a־¹) Î Р’ по (2), но b/(a־¹)=ba=ab => ab ÎР’

Следовательно «*» бинарная алгебраическая операция на Р’.

Аксиомы 1, 2, 5, 6 и 9 выполнились в Р’ как на подмножестве поля Р.

Таким образом Р’ – поле, а т.к. Р’ содержится в Р, то Р’ подполе поля Р.

Определение. Поле Р называется числовым, если его элементами являются числа.

Для того что бы доказать, что какое то числовое множество образует поле, достаточно показать, что сумма, разность, произведение, частное любых двух чисел этого множества (делитель не равен нулю), снова принадлежит этому множеству.

Доказательство этого утверждения вытекает из доказательства критерия подполя, и того факта, что любое числовое множество является подмножеством поля комплексных чисел.

Теорема. Множество рациональных чисел Q есть минимальное числовое поле. Q=.

Покажем, что Q числовое поле.

Т.к. Q числовое множество, то достаточно показать, что сумма, разность, произведение и частное любых двух рациональных чисел есть снова рациональное число.

Для любых m/n и p/q из Q

m/n±p/q=(m/n±p/q)/(nq) принадлежит Q

(m/n)*(p/q)=(mp)/(nq) принадлежит Q, mp из Z, nq из N

(m/n):(p/q)=(mq)/(np) принадлежит Q, mq из Z, np из N, p/q≠0 => p,q принадлежат N.

Определение. Поле Р называется минимальным, если оно содержится в любом другом поле в качестве подполя.

Выберем произвольным образом числовое поле Р.

Возьмём » а ÎР, где а≠0

а/a Î Р, т.к. Р – числовое.

Для » n ÎN, nÎР, получили что N ÌР.

Возьмём «а Î Р, а-а Î Р, т.к. Р- числовое, но а-а=0, 0 Î Р, и для » n ÎN (N Ì Р), 0-n Î Р, но 0-n=-n

Но из чисел вида m/n, где m ÎZ, n ÎN, состоит множество рациональных чисел Q.

Показали что Q Í Р.

Т.к. поле Р выбирали произвольно, то делаем вывод, что поле рациональных чисел Q содержится в любом числовом поле в качестве подполя.

В частности, если взять Р=Q, то получим, что Q ÍQ. Таким образом Q – минимальное числовое поле.

Пусть дано произвольно выбранное поле Р. Возьмём 1̃ Î Р, и рассмотрим множество элементов кратных 1̃:

1) Все элементы кратные 1 различны между собой, т.е. m*1̃≠n*1̃, m≠n

2) Среди элементов кратных 1 есть равные, т.е. m*1̃≠n*1̃, где m≠n.

Пусть для определённости m>n, тогда m*1̃-n*1̃=1̃(m-n)=0, где m-n Î N.

Пришли к понятию характеристики поля Р, обозначим m-n через р (m-n=р), тогда р*1̃=Õ.

Определение. Характеристикой поля Р называется наименьшее натуральное число р, такое, что р раз по 1. Если Р- числовое поле, то указанное равенство справедливо только в том случае, если р=0, поэтому любое числовое поле имеет нулевую характеристику.

Если поле Р имеет конечную характеристику р, то говорят что дано поле конечной характеристики р.

Теорема. Если поле Р имеет конечную характеристику р, то р – простое число.

Пусть дано поле Р конечной характеристики р. Нужно доказать, что р – простое число.

Воспользуемся методом от противного. Предположим, что пусть р- составное число, т.е. р=m*n, 1 р – простое число.

Пример: Выяснить характеристику поля Р классов вычетов по mod 3.

Множество классов вычетов по простому mod m = p всегда образует поле. Характеристика такого поля всегда равна р.

Если m составное, то множество классов вычетов по mod m образует ассоциативно- коммутативное кольцо с 1. В таких кольцах есть делители 0, и эти кольца полями не являются.

Упорядоченные поля. Их свойства.

Пусть дано произвольно выбранное поле Р.

Определение. Поле Р называется упорядоченным (линейно-упорядоченным), если в нём введено бинарное отношение порядка – «быть больше» или «быть меньше», удовлетворяющее следующим аксиомам:

– свойство монотонности сложения.

bc>ac – свойство монотонного умножения.

В любом упорядоченном поле справедлива теорема:

В любом упорядоченном поле квадрат любого элемента не отрицателен.

Для любого а из Р возможны случаи-

По 1му случаю (-а)²>0 => a²>0.

Примеры: Примерами линейно – упорядоченных полей являются поле рациональных чисел Q и поле действительных чисел R. Поле комплексных чисел С не является линейно- упорядоченным. Между комплексными числами нельзя ставить знаки > и φ(а)=а’ Î Р’

1 Î Р, и пусть 1—>φ(1)=b’ из Р’

Получили а’=a’*b’ => b’=1’, получили что φ(1)=b’=1’

4) обратные элементы к соответствующим соответствуют друг другу.

Возьмём «а Î Р, a≠Õ, тогда φ(а)=а’, а’ ÎР’

Алгебраические и трансцендентные числа. Примеры.

Пусть дано произвольно выбранное числовое поле Р и выбрано некоторое число α.

Определение. Число α называется алгебраическим над полем Р, если над полем Р существует хотя бы один многочлен, корнем которого является α.

Если над полем Р не существует многочлена для которого α является корнем, то α называют трансцендентным числом над полем Р.

Примеры: 1) α=5 над Q

5 – алгебраическое число над Q ( над R, над С)

Любое рациональное число является алгебраическим над Q.

Примерами трансцендентных чисел над полем рациональных чисел Q являются действительные числа е и π. Т.к. не существует над полем Q многочлена, для которого числа е и π были бы корнями.

6) над полем R действительные числа е и π являются алгебраическими, т.к. е- это корень многочлена f(x)=x-e, π- это корень многочлена f(x)=x-π.

7) Трансцендентные над полем Q будут все десятичные логарифмы от положительных рациональных чисел, которые сами не являются рациональными числами.

Существование трансцендентных чисел доказано французским математиком Лиувиллем.

Трансцендентность числа е доказана французским математиком Эрмитом в 1873 году.

Трансцендентность числа π доказана немецким математиком Линдеманом в 1882 году.

В период с 1883 по 1929гг теория трансцендентных чисел почти не развивалась.

В 1934 году советский математик Гельфанд доказал очень важную теорему в теории трансцендентных чисел.

Теорема. Если α – алгебраическое число над полем Q не равное 0 и 1, а β – алгебраическое иррациональное число над полем Q, то числа вида α^β (α в степени β) являются трансцендентными над полем Q.

Тем самым была решена одна из проблем Гильберта выдвинутая им в числе других в 1900 году на международном съезде математиков и считается одной из труднейших.

Немецкий математик Кантор показал, что множество алгебраических чисел равномощно множеству натуральных чисел, т.е. является счётным.

Позднее было доказано, что множество трансцендентных чисел равномощно множеству действительных чисел, т.е. имеет мощность континуума.

Следовательно, трансцендентных чисел больше чем алгебраических чисел.

Минимальный многочлен алгебраического числа над полем. Свойства

Пусть α – алгебраическое число над полем Р. Это значит, что существует бесконечное множество многочленов в кольце Р[x] для которых α корень.

Достаточно f(x) умножить на любой h(x) Î Р[x].

Получим, f(x)*h(x), при x=α, f(α)*h(α)=0, α его корень.

Приходим к понятию минимального многочлена для алгебраического числа α над полем Р.

Определение. Многочлен наименьшей степени над Р для которого α является корнем называется минимальным многочленом для алгебраического числа α над полем Р.

Обычно в качестве минимального многочлена для α выбирают тот, у которого старший коэффициент равен 1.

Пример: Найти минимальные многочлены для алгебраических чисел над полями С, R, Q.

Свойства минимальных многочленов.

1.Минимальный многочлен алгебраического числа α над Р не приводим над этим полем.

Пусть f(x) – минимальный многочлен алгебраического числа α над полем Р, это значит f(α)=0.

Нужно доказать, что f(x) не приводим над Р.

Предположим противное: пусть f(x) приводим => f(x)=f1(x)*f2(x)

Где 0 существует q(x) из Р[x] f(x)=φ(x)*q(x) по условию что f(x) не приводим над Р.

ð равенство возможно лишь тогда когда q(x)=c, c≠0, c из Р.

с – многочлен нулевой степени.

f(x)=c*φ(x) => степень f(x)=степени с*φ(x)=n.

2Достаточность. Получили, степень αi над Р равна n.

Т.к. αi выбирали произвольно, то делаем вывод, что все числа сопряжённые с α имеют над Р ту же степень n.

Остаётся доказать, что эти числа различны между собой.

Тогда f(x) кратно (x-αi)², но тогда f’(x) кратно (x-αi) => f’(αi)=0

Пришли к противоречию с выбором минимального многочлена, т.к. нашли многочлен меньшей степени чем n, для которого αi является корнем.

Противоречие получено в результате неверного предположения.

ð все числа сопряжённые с α различны между собой.

Важное замечание: Все числа принадлежащие полю Р являются алгебраическими числами над этим полем. Если верно обратное утверждение-«Любое алгебраическое число над полем Р принадлежит полю Р», то поле Р называется алгебраически- замкнутым полем.

Пусть Р=С- поле комплексных чисел.

Над полем С не приводимы только многочлены первой степени => над С существует только алгебраические числа 1ой степени, это сами комплексные числа.

Вывод: поле комплексных чисел С – алгебраически замкнутое поле.

Пусть Р=R- поле действительных чисел.

Нал полем R не приводимы все многочлены 1й степени и часть многочленов 2й степени у которых D(дискриминант) Q не является алгебраически замкнутым полем.

Заметим, что трансцендентные числа существуют только над полем рациональных чисел Q, над другими полями их нет.

Простые алгебраические расширения полей.

Теорема о простых расширениях.

Определение. Пусть дано произвольно выбранное числовое поле Р, и пусть Р’ его подполе, тогда поле Р называют расширением подполя Р.

Пусть дано поле Р и α – алгебраическое число степени n над полем Р.

Определение. Простым алгебраическим расширением поля Р с помощью алгебраического числа α n-ой степени над полем Р, называется множество Р(α) чисел вида

Обозначим числитель дроби через f(α).

Заметим, что простое алгебраическое расширение поля Р с помощью алгебраического числа α будет происходить только в том случае, если α- алгебраическая иррациональность над полем Р, т.е. степень α≥2.

Справедлива теорема о простых расширениях:

Теорема. Простое алгебраическое расширение поля Р с помощью алгебраического числа α есть минимальное числовое поле содержащее в себе поле Р и число α.

Т.е. если Г- любое другое числовое поле содержащее в себе Р и α, то Г содержит в себе Р(α) (Р(α) Í Г)

Пусть дано простое алгебраическое расширение Р(α). Докажем сначала, что Р(α) – поле.

Т.к. Р(α)- числовое множество, то что бы доказать, что Р(α)- числовое поле, достаточно показать что сумма, разность, произведение и частное любых 2х чисел из Р(α) (делитель не 0), снова принадлежит Р(α).

1. «β1, β2 ÎР(α), пусть β1(α)=f1(α)/φ1(α), β2(α)=f2(α)/φ2(α), где φ1(α)≠0, φ2(α)≠0.

Док-во. β1+β2=f1(α)/φ1(α)±f2(α)/φ2(α)=(f1(α)*φ2(α)±φ1(α)*f2(α))/ (φ1(α)*φ2(α)) Î Р(α), т.к. φ1(α)*φ2(α)≠0.

3. β1 и β2 из Р(α), β2≠0, => φ2(α)≠0, f2(α)≠0,

Тогда β1:β2=(f1(α)*φ2(α))/(φ1(α)*f2(α)) Î Р(α), т.к. φ1(α)*f2(α)≠0

ð Р(α) – числовое поле.

Покажем, что Р Ì Р(α)

Возьмём » а ÎР, => a=(a*α°)/(1*α°) Î Р(α)

Т.к. а выбирали произвольно, то Р Ì Р(α).

Остаётся доказать что Р(α) – минимальное числовое поле.

Пусть Г- любое другое числовое поле, такое что Р Ì Г, α ÎГ.

Т.к. Г- числовое поле, то α^i ÎГ.

Возьмём любое аi ÎР, Р Ì Г.

Тогда аi*(α^i) Î Г, т.к. Г- числовое, но тогда Σ(i от 1 до n)ai*(α^i) Î Г.

Возьмём » f(α) и φ(α) Î Г, где φ(α)≠0, тогда f(α)/φ(α) Î Г, т.к. Г- числовое поле.

Но из дробей вида f(α)/φ(α) состоит Р(α), следовательно, Р(α) Í Г, а значит Р(α)- минимальное числовое поле удовлетворяющее условиям теоремы.

Теорема о строении простых алгебраических расширений. Уничтожение алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.

Теорема. Пусть дано простое алгебраическое расширение поля Р, с помощью алгебраического числа α n-ой степени. Тогда любое число β ÎР(α) единственным образом представимо в виде:

ð P(α)- устроено следующим образом:

(Док-во см. ниже после примеров)

Пример: Построить простые алгебраические расширения полей, с помощью алгебраических чисел.

Значит минимальный многочлен Р(х)=х³-5

Данная теорема даёт возможность строить новые числовые поля.

1этап. Пусть дано простое алгебраическое расширение поля Р, с помощью алгебраического числа α над полем Р. Причём степень(Р)α=n, n≥2.

Возьмём любое β из Р(α), то β=f(α)/φ(α), где φ(α)≠0.

По виду числителя и знаменателя дроби можно записать многочлены f(x) и φ(х) заменив α на х.

Зная алгебраическое число α и его степень n, запишем минимальный многочлен алгебраического числа α над полем Р. Обозначим его через Р(х).

Утверждаем, что многочлены Р(х) и φ(х) взаимно просты.

Пусть φ(х) кратно Р(х) => существует q(x) из Р(х), φ(х)=Р(х)*q(x),

Полагая, что х=α, получим φ(α)=Р(α)*q(α)=0

Пришли к противоречию, т.к. по условию φ(α)≠0.

ð многочлены Р(х) и φ(х) взаимно просты, т.е. D(Р(х),φ(х))=d, (d=1)

2 этап. Используя теорему о линейном выражении НОД двух многочленов, найдём многочлены U(x) и V(x) из Р[x], такие что Р(х)*U(x)+φ(x)*V(x)=d.

Полагая, что х=α, и учитывая, что Р(α)=0, получим φ(α)*V(α)=d.

Вернёмся к числу β равному : β=f(α)/φ(α) и умножим числитель и знаменатель дроби на V(α):

в результате этого мы избавились от иррациональности в знаменателе дроби.

Правило уничтожения иррациональности в знаменателе дроби: β= f (α)/φ(α).

1. По виду знаменателя дроби составляем многочлен φ(х), по виду алгебраического числа α находится минимальный многочлен Р(х).

2. Используя алгоритм Евклида находим НОД многочленов Р(х) и φ(х).

3. Находим линейное выражение полученного наибольшего общего делителя.

Полагая в линейном выражении что x=α, находим V(α).

4. Умножаем числитель и знаменатель дроби β на V(α), получим:

Если окажется так, что степень β относительно α будет меньше n, то теорема доказана. Останется доказать только единственность полученного выражения. Но пусть окажется так, что степень β≥n. Заменяя в выражении β=(1/d)*f(α)*V(α), α на х получим: (1/d)*f(x)*V(x).

К полученному многочлену и к минимальному многочлену Р(х) применяем теорему о делении с остатком

Полагая х=α и учитывая, что Р(α)=0, получим

Осталось доказать единственность найденного представления.

Предположим, что наряду с найденным представлением β в указанном виде, существует ещё одно представление β

Если хотя бы одна из разностей сi-ci’≠0, (i от 1 до n), то α будет корнем многочлена меньшей степени чем n, что противоречит выбору минимального многочлена Р(х) степень которого равна n.

Замечание. Доказанная теорема даёт возможность приводить бесконечное множество примеров числовых полей.

Примеры: Построить простые алгебраические расширения простых полей-

Не произошло расширения, т.к. степень

Дата добавления: 2018-11-24 ; просмотров: 664 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник