поле бесконечного прямого тока

Поле бесконечного прямого тока

Применим закон Био–Савара–Лапласа для расчета магнитных полей простейших токов.

Рассмотрим магнитное поле прямого тока (рис. 1.6).

Все векторы от произвольных элементарных участков имеют одинаковое направление. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением модулей.

Пусть точка, в которой определяется магнитное поле, находится на расстоянии b от провода. Из рисунка 1.6 видно, что:

Подставив найденные значения r и dl в закон Био–Савара–Лапласа, получим:

Для конечного проводника угол α изменяется от , до . Тогда

,

(1.5.1)

Для бесконечно длинного проводника а , тогда

или, что удобнее для расчетов,

,

(1.5.2)

Линии магнитной индукции прямого тока представляют собой систему концентрических окружностей, охватывающих ток (рис. 1.3).

Источник

Источники магнитного поля

В школьной физике в качестве источников магнитного поля рассматриваются постоянные магниты и проводники с током. Если постоянные магниты мы уже рассмотрели, то с проводниками давайте разберёмся в данном разделе. Простейшие формы проводников для расчёта магнитных полей:

Для каждого из этих проводников можно рассчитать напряжённость магнитного поля в точке.

Итак, движущийся заряд создаёт вокруг себя магнитное поле. Самый простой тип движущегося заряда — это обычный электрический ток. Вопрос только в том, как согнуть проводник:

Рис. 1. Магнитное поле бесконечного проводника

Итак, возьмём бесконечный прямолинейный проводник с током. Слово «бесконечный» в данном случае небольшое приближение. Так для любой точки, находящейся непосредственно вблизи любого линейного проводника, сам проводник «кажется» бесконечным. Пусть по нашему проводнику течёт ток (рис. 1). Прямолинейный проводник с током создаёт вихревое (круговое) магнитное поле вокруг себя. Направление вектора магнитной индукции задаётся правилом буравчика (правилом правой руки). Исходя из этого правила, найдём направление вектора (рис. 2).

Рис. 2. Магнитное поле бесконечного проводника (магнитная индукция)

Для подсчёта модуля вектора магнитной индукции поля вне прямолинейного бесконечного проводника с током можно использовать соотношение (рис. 3):

Рис. 3. Модуль вектора магнитной индукции бесконечного линейного проводника

3D модели рисунков достаточно сложны для рассмотрения, поэтому введены условные обозначения для направлений векторов/токов в трёхмерном пространстве (рис. 4).

Рис. 4. Схематические отображения векторов

Тогда перерисуем рисунок 3, в случае, если мы смотрим сверху провода (рис. 5.1). В этом случае ток течёт на нас, т.е. из рисунка. И в случае, когда мы смотрим на провод снизу вверх (рис. 5.2). В этом случае ток течёт от нас, т.е. внутрь рисунка.

Рис. 5. Поле проводника (вид сверху)

На рисунке 5 точечной линией обозначено магнитное поле прямолинейного тока (оно круговое). Направление вектора магнитной индукции ( ) определяется правилом буравчика (правилом правой руки).

Правило буравчика для прямолинейного тока: правой рукой обхватываем проводник с током, отогнутый большой палец сонаправляем с током, тогда согнутые 4 пальца показывают направление вектора магнитной индукции.

Второй вариант системы, в которой достаточно просто рассчитать модуль вектора магнитной индукции, — это круговой виток с током. Т.е. сам проводник с током представляет собой окружность. По данному проводнику ток может течь как по часовой стрелке (рис. 6.1), так и против часовой (рис. 6.2).

Рис. 6. Круговой виток с током

В целом, магнитное поле такого проводника достаточно сложное, однако для центра витка нахождение модуля вектора магнитной индукции не представляет проблем:

Немного о — относительной магнитной проницаемости среды. Это параметр, который описывает насколько сама среда воспринимает магнитное поле источника. В целом, это табличная величина.

Правило буравчика для кругового тока: обнимаем правой рукой провод, большой отогнутый палец правой руки направляем по току, тогда загнутые 4 пальца будут указывать направление вектора магнитной индукции.

Важно: для наших систем можно запомнить, что прямолинейный ток создаёт круговое магнитное поле (рис.5), а круговой ток создаёт прямолинейное магнитное поле (рис.6).

Вывод: для поиска модуля вектора магнитной индукции достаточно проанализировать систему в задаче и описать её через модель бесконечного прямолинейного или кругового проводника с током.

Источник

6.2. Магнитное поле прямолинейного проводника с током

Вычислим поле, создаваемое током, текущим по тонкому прямолинейному проводу бесконечной длины.

Индукция магнитного поля в произвольной точке А (рис. 6.12), создаваемого элементом проводника dl, будет равна

Рис. 6.12. Магнитное поле прямолинейного проводника

Поля от различных элементов имеют одинаковое направление (по касательной к окружности радиусом R, лежащей в плоскости, ортогональной проводнику). Значит, мы можем складывать (интегрировать) абсолютные величины

Выразим r и sin через переменную интегрирования l

Тогда (6.7) переписывается в виде

Картина силовых линий магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током представлена на рис. 6.13.

Рис. 6.13. Магнитные силовые линии поля прямолинейного проводника с током:
1 — вид сбоку; 2, 3 — сечение проводника плоскостью, перпендикулярной проводнику

Для обозначения направления тока в проводнике, перпендикулярном плоскости рисунка, будем использовать следующие обозначения (рис. 6.14):

Рис. 6.14. Обозначения направления тока в проводнике

Для обозначения направления тока в проводнике, перпендикулярном плоскости рисунка, будем использовать следующие обозначения (рис. 6.14):

Напомним выражение для напряженности электрического поля тонкой нити, заряженной с линейной плотностью заряда

Сходство выражений очевидно: мы имеем ту же зависимость от расстояния до нити (тока), линейная плотность заряда заменилась на силу тока. Но направления полей различны. Для нити электрическое поле направлено по радиусам. Силовые линии магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током образуют систему концентрических окружностей, охватывающих проводник. Направления силовых линий образуют с направлением тока правовинтовую систему.

На рис. 6.15 представлен опыт по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг прямолинейного проводника с током. Толстый медный проводник пропущен через отверстия в прозрачной пластинке, на которую насыпаны железные опилки. После включения постоянного тока силой 25 А и постукивания по пластинке опилки образуют цепочки, повторяющие форму силовых линий магнитного поля.

Вокруг прямого провода, перпендикулярного пластинке, наблюдаются кольцевые силовые линии, расположенные наиболее густо вблизи провода. При удалении от него поле убывает.

Рис. 6.15. Визуализация силовых линий магнитного поля вокруг прямолинейного проводника

На рис. 6.16 представлены опыты по исследованию распределения силовых линий магнитного поля вокруг проводов, пересекающих картонную пластинку. Железные опилки, насыпанные на пластинку, выстраиваются вдоль силовых линий магнитного поля.

Рис. 6.16. Распределение силовых линий магнитного поля
вблизи пересечения с пластинкой одного, двух и нескольких проводов

Источник

Теорема Био-Савара-Лапласа. Магнитное поле прямого тока.

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось учеными Ж. Био и Ф. Саваром. Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля dB, записывается в виде

(110.1)

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r—радиус-вектор, проведённый из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-вектора r. Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление враще­ния головки винта дает направление dB, если поступательное движение винта соответ­ствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется выражением

, где a — угол между векторами dl и r. (110.2)

Если распределение тока имеет определенную сим­метрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис.). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к вам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная индук­ция, создаваемая одним элементом проводника, равна (110.4)

Так как угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока (110.5)

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис.). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение век­торов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina =1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

Источник

Учебники

Журнал «Квант»

Общие

§12. Постоянное магнитное поле

12.7 Расчет индукции магнитного поля.

Закон Био-Саварра-Лапласа и принцип суперпозиции позволяют рассчитать индукцию магнитного поля \(

I \Delta \vec l\) записывается также в виде \(

I \Delta \vec l\) следует заменить эквивалентным \(

\vec j \Delta V\) и провести суммирование по всем элементам объема., где протекают электрические токи.

Конечно, такое суммирование часто представляет собой громоздкую математическую задачу (в конце концов, для его выполнения можно воспользоваться компьютером), но, с физической точки зрения, изложенный метод дает полное решение задачи.

Рассмотрим несколько примеров расчета индукции магнитного поля по изложенной выше методике.

12.7.1 Магнитное поле кругового тока.

Пусть постоянный электрический ток силой I протекает по плоскому круглому контуру радиуса R. Найдем индукцию поля в центре кольца в точке O (Рис. 30). Мысленно разобьем кольцо на малые участки, которые можно считать прямолинейными, и применим закон Био-Саварра-Лапласа для определения индукции поля, создаваемого этим элементом, в центре кольца. В данном случае вектор элемента тока \(

(I \Delta \vec l)_k\) и вектор \(

Для любого другого элемента кольца ситуация абсолютно аналогична – вектор индукции также направлен по оси кольца, а его модуль определяется формулой (1). Поэтому суммирование этих векторов выполняется элементарно и сводится к суммированию длин участков кольца

(I \Delta \vec l)_k\) и строим вектор индукции поля \(

(\Delta \vec B)_k\) и осью кольца. Запишем выражение для модуля искомого суммарного вектора индукции

Из рисунка следует, что \(

Как и следовало ожидать, в центре кольца (при z = 0) формула (3) переходит в полученную ранее формулу (2).

Задания для самостоятельной работы.

Используя общий рассматриваемый здесь метод, можно рассчитать индукцию поля в произвольной точке. Рассматриваемая система обладает осевой симметрией, поэтому достаточно найти распределение поля в плоскости, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр. Пусть кольцо лежит в плоскости xOy (рис.32), а поле рассчитывается в плоскости yOz. Кольцо следует разбить на малые участки, видимые из центра под углом Δφ и просуммировать поля создаваемые этими участками. Можно показать (попробуйте проделать это самостоятельно), что компоненты вектора магнитной индукции поля, создаваемого одним выделенным элементом тока, в точке с координатами (y,z) рассчитываются по формулам:

Необходимое суммирование не может быть проведено аналитически, так как при переходе от одного участка кольца к другому изменяются расстояния до точки суммирования. Поэтому «простейший» способ провести такое суммирование – использовать компьютер.

Если же известно значение вектора индукции (или хотя бы имеется алгоритм его расчета) в каждой точке, то можно построить картину силовых линий магнитного поля. Очевидно, что алгоритм построения силовых линий векторного поля не зависит от его физического содержания, а такой алгоритм был кратко рассмотрен нами при изучении электростатики.

На рис. 33 картина силовых линий рассчитана при разбиении кольца на 20 частей, этого оказалось вполне достаточно, так как и при 10 интервалах разбиения получался практически тот же рисунок.

Рассмотрим выражение для индукции поля на оси кольца на расстояниях значительно больших радиуса кольца z >> R. В этом случае формула (3) упрощается и приобретает вид

Такое совпадение не случайно, более того, можно показать, что подобное соответствие справедливо для любой точки поля, находящейся на больших расстояниях от кольца. Фактически малый контур с током является магнитным диполем (два одинаковых малых противоположно направленных элемента тока) – поэтому его поле совпадает с полем электрического диполя. Чтобы ярче подчеркнуть этот факт, на рис. 34 приведена картина силовых линий магнитного поля кольца, на больших расстояниях от него (сравните с аналогичной картиной для поля электрического диполя).

12.7.2 Магнитное поле прямого тока.

Рассчитаем индукцию магнитного поля, создаваемого бесконечным [1] проводником, по которому протекает электрический ток силой I (Рис. 35) Методика расчет остается прежней: мысленно разбиваем проводник на малые участки \(

I \Delta \vec l_k\). Согласно закона Био-Саварра-Лапласа в произвольной точке A, находящейся на расстоянии R от проводника, произвольный элемент тока создает магнитное поле, вектор индукции которого \(

Договоримся об еще одном общепринятом соглашении. Достаточно часто приходится изображать векторы, перпендикулярные плоскости рисунка. В этом случае эти векторы изображаются в виде (рис. 36): небольшого кружка с точкой в центре, если вектор направлен «на нас» (видно «острие» вектора); кружка с перекрестием, если вектор направлен от нас (видно «оперение» вектора).

Векторы поле, созданных всеми другими участками проводника, направлены также, поэтому суммирование векторов в данном случае сводится к суммированию их модулей. Но даже вычислить сумму модулей не просто, так как для различных участков проводника расстояния r_k и α_k различны. Тем не менее, такое суммирование выполнимо, его результат выражается формулой, определяющей величину индукции магнитного поля бесконечного прямого тока

здесь не приведено вычисление последней суммы (которая равна \(

\sum_k \frac<\Delta l_k> \sin \alpha_k = \frac<2>\)), поверьте пока в справедливость полученного выражения, хотя бы потому, что оно имеет богатый физический смысл. Во-первых, эта формула совпадает с выражением для напряженности электрического поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно заряженной нитью; во-вторых, оно соответствует результату опытов А.М. Ампера по изучению взаимодействия параллельных токов. Действительно, если один проводник создает магнитное поле, индукция которого обратно пропорциональна расстоянию до проводника, то на второй проводник действует сила Ампера, пропорциональная индукции поля, то есть обратно пропорциональная расстоянию между проводниками.

Дадим теперь строгий вывод формулы для суммы, фигурирующей в выражении (2). Проще всего она выводится с помощью операции интегрирования, но здесь мы дадим ее геометрический вывод. Для начала с помощью рис. 35 преобразуем каждое слагаемое этой формулы \(

\Delta l_k \sin \alpha_k\) равно длине отрезка CD, перпендикулярного вектору \(

\frac<\Delta l_k> \sin \alpha_k = \frac<|CD|> = \Delta \alpha_k\) (3)

( точнее, это отношение равно тангенсу угла, который для малых углов равен самому углу, измеренному в радианах). Из того же рисунка следует, что отношение \(

\frac <\sin \alpha_k>= R\) равно расстоянию от точки наблюдения до проводника и не зависит от выбора участка проводника. С учетом этого соотношения и формулы (2) получим

Таким образом, вычисление суммы (2) сводится к вычислению суммы \(

Для вычисления этой суммы применим искусственный прием (он встретится нам и в дальнейшем). Возьмем окружность (Рис. 37) радиуса R и разобьем ее точками C₀, C₁, C₂, …, C_N на малые участки, угловой размер каждого равен Δα.

Хорды, которые образованы точками разбиения будем рассматривать как векторы \(

Теперь, внимание, если справедливо векторное равенство, то справедливо аналогичное выражение для любой проекции этих векторов. Введем декартовую систему координат с началом в центре окружности, ось Ox которой проходит через начальную точку. Длины построенных вписанных векторов равны \(

|\vec a_k| = R \Delta \alpha_k\) (точнее, это длина дуги, но для малых углов, длина стягивающей хорды стремится к длине дуги). Из рисунка 37 следует, что проекции этого вектора на оси координат равны, соответственно,

Проецируя равенство (4) на оси координат получим

Проекции суммарного вектора \(

\vec A\) на оси координат находятся просто

Сравнивая выражения (5) и (6) получим искомые формулы

Еще раз подчеркнем, что суммирование в этих формулах проводится в пределах изменения угла от нуля до предельного значения α_max.

Осталось принять во внимание, что бесконечный прямой проводник виден из любой точки вне его под углом α_max = π, поэтому искомая сумма выражается формулой

что и требовалось доказать.

Оценим длину «бесконечного» в данном случае проводника – во сколько раз длина проводника должна быть больше расстояния до точки наблюдения, что бы погрешность расчета индукции поля по формуле (2), примененной к проводнику конечной длины, была пренебрежимо малой.

Пусть длина прямого проводника равна l, а индукция поля рассчитывается в точке A, находящейся на расстоянии r (считаем, что r [2]

Такая ошибка будет допущена, если отношение длины проводника к расстоянию до точки наблюдения равно \(

\frac = \frac<2><\varepsilon>\). Так для относительной ошибки ε = 1% искомое отношение равно \(

\frac \approx 15\). Итак, в рассмотренном случае «бесконечность» равна 15.

Примечания

(1 + x)^\beta \approx 1 + \beta x\) (в данном случае \(\beta = \frac<1><2>\)).

Источник