поле бесконечно заряженного цилиндра

Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности.

Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).

Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).

Рис. 2.11	Рис. 2.12

Тогда

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости

Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей .

Тогда внутри плоскостей

Вне плоскостей напряженность поля

Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):

Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.

Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:

где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. , то

Это формула для расчета пондермоторной силы.

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.

Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда

Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.

Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

Поле заряженного пустотелого шара

Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, – в любой точке проходит через центр шара. ,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).

Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда

откуда поле вне сферы:

Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:

Как видно из (2.5.7) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.

Поле объемного заряженного шара

Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:

Но внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный

где ρ – объемная плотность заряда, равная: ; – объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:

Таким образом, внутри шара

Источник

ЛЕКЦИЯ №5

1. Общие замечания.

В лекции №4 п.1 была установлена связь между электростатическим полем и его источниками (зарядами) в виде определения напряженности (4.4). Однако эта связь может быть записана гораздо более простым и изящным способом, для изложения которого нам придётся вначале ознакомиться с рядом математических понятий.

2. Определение и общие замечания о структуре векторного поля(математическое отступление).

Пусть в некоторой области пространства определено какое-либо векторное поле. Это означает, что в каждой точке данной области пространства задан вектор поля, который будем обозначать .

3. Понятие потока и дивергенции(математическое отступление).

Пусть в области пространства, в которой определено векторное поле находится поверхность S.

def:Потоком векторного поля через поверхность S называется поверхностный интеграл . (5.1)

Как видно из этого определения интегрируется, фактически, нормальная составляющая вектора (рис 5.1). В связи с этим используется еще следующее обозначение потока: , а также , где .

Если поверхность S является замкнутой, то поток вектора через такую поверхность обозначается

. (5.2)

Теперь дадим определение дивергенции векторного поля. Окружим точку пространства М, где имеется источник векторного поля, произвольной замкнутой поверхностью S.

def: Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел, к которому стремится отношение потока вектора через поверхность S к объему D V, ограниченному этой поверхностью, когда последняя стягивается к точке М, а D V→0 . (5.3)

Как видно из определения, дивергенция представляет собой плотность потока векторного поля.

rem: Известно, что плотность какой-либо величины, заданной в пространстве, (например плотность заряда), определяется как предел отношение этой величины, заключенной в объеме D V к величине данного объема. Так и в (5.3) дивергенция определяется как предел отношения потока векторного поля изнутри объема D V, к величине этого объема.

4. Дивергенция в различных системах координат (математическое отступление).

Исходя из определения дивергенции (5.3) в математической теории поля получают следующие формулы, позволяющие вычислять дивергенцию в различных системах координат:

, (5.4)

связывающее поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S с интегралом от дивергенции этого вектора по объему, ограниченному данной поверхностью.

6. теорема Гаусса в физике.

В электродинамике данная теорема называется просто теоремой Гаусса и формулируется следующим образом:

Lex: Поток напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность S пропорционален полному заряду Q, заключенному внутри объема, охваченного данной поверхностью . (5.5)

Не доказывая данной теоремы, покажем, как можно прийти к её формулировке. Пусть имеется сферическая замкнутая поверхность произвольного радиуса, а в центре точечный заряд q (рис.5.3а). Задача симметрична. Очевидно, что

Т.о., получили, что поток не зависит от радиуса сферы. Теперь эту сферу окружим произвольной поверхностью (рис.5.3б). Понятно, что поток чего-то, обратно пропорционального квадрату расстояния, через замкнутую поверхность не зависит от формы и размера поверхности.

rem: Эта теорема имеет более общий характер, чем закон Кулона, на основе которого обычно строится ее доказательство.

Легко получить дифференциальную форму данной теоремы для величин, относящихся к точке пространства.

,

Левые части формул равны, следовательно, равны и правые, а значит и подынтегральные функции:

(5.6)

7. Использование теоремы Гаусса для расчёта электростатических полей (общие соображения).

(5.7)

(5.8)

Очевидно, что такие поверхности есть у любой статической системы зарядов, но заранее они известны далеко не всегда. Например, в случае заряженного диска, или просто заряженной нити, свитой в кольцо, эти поверхности очень сложны и сами требуют весьма непростого расчета. Следовательно, рассчитать поля, создаваемые указанными заряженными телами с помощью теоремы Гаусса нельзя.

Необходимо, однако, сделать следующее замечание о том, что с помощью теоремы Гаусса можно рассчитывать еще поля, создаваемые заряженными телами, которые могут быть представлены в виде суммы нескольких симметрично заряженных тел. Находя отдельно поля, создаваемые каждым из таких тел, мы, используя принцип суперпозиции электрических полей, находим результирующее поле, создаваемое исходным телом.

8. Напряженность равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра.

В качестве первого примера применения теоремы Гаусса для расчета электростатических полей рассмотрим подробно решение задачи о напряженности электростатического поля, созданного равномерно заряженным по объему бесконечно-длинным цилиндром радиуса R. На единицу длины цилиндра приходится заряд t (см. формулу (2.8)).

б) В силу симметрии распределения заряда по объему цилиндра, а также его бесконечной длины можно сделать вывод о том, что в любой точке пространства напряженность электрического поля направлена перпендикулярно оси цилиндра, и её модуль зависит только от расстояния до этой оси:

в) В качестве поверхности интегрирования S выберем цилиндр радиуса r произвольной высоты h (рис.5.4). Это обусловлено тем, что в каждой точке боковой поверхности данного цилиндра E_r(r)=const (при r=const), а поток вектора через верхнее и нижнее донышки цилиндра равен 0. Последнее же связано с тем, что в каждой точке этих донышек и, следовательно, ). В соответствии с (5.7) и (5.8) имеем:

,

,

что представляет собой частный случай формулы (5.8).

г) Найдём напряжённость поля внутри и вне цилиндра.

Заряд, попавший внутрь цилиндра радиуса r и высоты h равен (см. рис.5.4) , где — объемная плотность заряда. Следовательно, и мы имеем

При рассмотрении внешней области внутрь поверхности интегрирования попадает Q= t h. Следовательно

д) Таким образом, напряженность поля данного цилиндра в каждой точке пространства определяется выражением:

(5.9)

Рассмотрим теперь пример расчёта полей, создаваемых заряженными телами, обладающими декартовой и сферической симметрией, соответственно.

9. Напряженность бесконечной заряженной плоскости.

Если еще учесть знаки, то тогда проекция напряженности на ось ОХ будет равна

Очевидно, что скачок напряженности на заряженной поверхности равен 2 s/e₀ . Запомним пока этот факт.

10. Напряженность двух бесконечных заряженных плоскостей.

В этом случае заряд распределен только по внутренним сторонам поверхностей (из-за взаимовлияния) с плотностью s ‘=2 s . Поле внутри

. Снаружи поля нет. Окончательно

(5.12)

11. Напряженность равномерно заряженной сферы.

Пусть по поверхности сферы равномерно распределен электрический заряд q (рис.5.9). Задача центрально-симметричная , поэтому в качестве поверхностей интегрирования выбираем сферы радиуса r. При этом в соответствии с (5.8) будем иметь:
внутри сферы, так как Q=0, то E_r=0,
снаружи сферы, поскольку Q=q, то E_r=q/4 p r 2 e ₀. Таким образом, получаем, формулу (5.13) и график на рис.5.11.

(5.13)

12. Напряженность равномерно заряженного шара.

Пусть имеется однородно заряженный шар (рис.5.12). Задача снова центрально симметричная, т.е. (E_r,0,0). Вне шара все аналогично сфере. Применение интегральной формы теоремы Гаусса для внешней области вполне стандартно. Покажем, что этот же результат может быть получен и с помощью дифференциальной формы этой же теоремы (5.6). В нашем случае это уравнение с учетом выражения для дивергенции в сферической системе координат имеет вид

, где

Разделяя переменные, получим

.

Константу считаем равной 0, чтобы не было расходимости при r=0. В итоге получаем формулу (5.14) и график на рис.5.13.

(5.13)

13. Теорема Ирншоу(1839 г.).

Утверждение о неустойчивости статической системы зарядов называется теоремой Ирншоу.

Lex: Совокупность неподвижных частиц, взаимодействующих между собой с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния не может образовывать устойчивой равновесной системы.

Действительно, пусть имеется заряд, для определенности положительный. Окружим его произвольной замкнутой поверхностью. Чтобы он находился в устойчивом равновесии, необходимо, чтобы поле, образованное всеми остальными зарядами, было направлено к той точке, в которой он первоначально находился. Тогда при отклонении его от положения равновесия, на него будет действовать возвращающая сила. Но в этом случае поток напряженности через эту замкнутую поверхность должен быть отрицательным, т.к. напряженность противоположно направлена внешней нормали. Однако, по теореме Гаусса, поток поля, созданного зарядами вне поверхности, должен быть равен 0. Иначе говоря, нет “пустой” области, где все поле направлено внутрь или наружу. С энергетической точки зрения неустойчивость связана с отсутствием минимума потенциальной энергии.

Если заряды не могут иметь неустойчивого равновесия, то нельзя представлять вещество построенным из статических точечных зарядов (электронов и протонов). Первая модель атома Томсона представляла собой «положительный пудинг с отрицательными изюминками», то есть неустойчивая система.

Резерфорд показал, что в атоме есть маленькое положительное ядро, но такая система тоже неустойчива.

Резерфорд и Бор предложили движение электронов по орбитам. Но так как они в этом случае движутся с центростремительным ускорением, то должны излучать, терять энергию и упасть на ядро. Опять неустойчивость!

Сейчас стабильность атома объясняют с помощью квантовой механики. Электрон «размазан» в пространстве на расстоянии, диктуемом принципом неопределенности. И такая система устойчива!

Источник

• ← обшивка стен мягкой кровлей
• сложность игры в цивилизации 6 на что влияет →