Ожигова е п что такое теория чисел

Ожигова е п что такое теория чисел

Эта книга познакомит вас с кругом вопросов, которые решает теория чисел, с некоторыми приемами их решения и основными понятиями.

Заметим, что теория чисел часто вызывает интерес простотой постановки ее задач, но затем отпугивает трудностью их решения. Однако именно трудность решения задач теории чисел привлекла к ней Ферма, Эйлера, Лагранжа, Гаусса, Галуа.

В первом и втором разделах говорится о предмете, методах и приложениях этой науки, в третьем и четвертом даны краткие исторические сведения. Остальные разделы посвящены изложению отдельных вопросов теории чисел, представляющих самостоятельный интерес и доступных для читателя, незнакомого с высшей математикой.

Что такое теория чисел?

Как же ответить на этот вопрос?

Мы будем различать теорию чисел, понимая под этим науку о свойствах целых чисел, и современную теорию чисел, возникшую из первой в связи с расширением понятия целого числа и с новыми методами.

В этой брошюре мы коснемся теории чисел и некоторых истоков современной теории чисел.

В «Лекциях по математике» (1795) Лагранж писал:

Но они служат не только основой, они служат, так сказать, еще и дополнением. Так как когда находят результат, то, чтобы суметь его использовать, необходимо перевести его в числа или линии; чтобы перевести его в числа, нужна помощь Арифметики; чтобы перевести его в линии, нужна помощь Геометрии».

Леонард Эйлер, больше всех разделов математики любивший теорию чисел, горячо защищал ее от обвинений в бесплодности и отсутствии приложений:

«Среди всех проблем, которые обычно трактуются в математике, никакие не считаются большинством более бесплодными и лишенными приложений, чем те, которые состоят в изучении природы числа и исследовании делителей. Кроме того, что отыскание истины само по себе казалось бы похвальным и достойным человеческого познания, они (древние) хорошо чувствовали, что благодаря изучению этих предметов расширяется само искусство вычисления, и свойства ума становятся более способными для выполнения более трудных задач. Весьма правдоподобным кажется, что эта наука (математический анализ) никогда не достигла бы такой степени совершенства, если бы древние не посвятили столько сил развитию такого рода вопросов, какие сегодня большинство считает столь маловажными из-за их бесплодности. Потому не следует сомневаться в том, что дальнейшее усовершенствование этих вещей принесет впоследствии новые успехи анализу».

В самом деле, все развитие математики вызвано или успехами геометрии или достижениями теории чисел. Многие математические теории построены по аналогии с теоретико-числовыми. Не касаясь успехов математики, вызванных прогрессом геометрии (Евклид, Лобачевский, Риман!), остановимся на тесной связи развития математики с достижениями теории чисел.

Такие расширения понятия числа создают новые разделы математики и способствуют ее развитию. Особенно успешно действуют обобщения понятий теории чисел в тех случаях, когда они оказываются связанными с геометрией.

Так появился могущественный метод координат.

Измерение длин, площадей, объемов, объединяющее усилия геометрии и теории чисел, привело к возникновению интеграла и к созданию интегрального исчисления.

Процессы и методы теории чисел порождают аналогичные методы в алгебре, математическом анализе и т.д.

Так, алгоритм Евклида (процесс нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел) явился прообразом такого же алгоритма в алгебре многочленов, алгоритма разложения обыкновенной дроби в непрерывную. Теорема единственности разложения целого положительного числа на простые множители была источником новых идей в анализе и алгебре, основных в алгебраической и аналитической теории чисел. На ней основано знаменитое тождество Эйлера, послужившее, в свою очередь, основой для исследований П.Л.Чебыш\»ева, П.Лежен-Дирихле, Б.Римана и многих других. Теория чисел явилась источником идеи теории групп. Исследования в области теории чисел послужили основой для открытий Эвариста Галуа.

Предметом теории чисел служат свойства целых чисел. Расширение понятия числа и появление новых методов изменяют предмет теории чисел. Каждое новое расширение понятия целого числа порождает новую современную (для этого времени) теорию чисел. Возникли теория целых комплексных чисел, теория целых алгебраических чисел, арифметика кватернионов и т.д.

Исходные задачи теории чисел всегда связаны со свойствами целых чисел двух родов:

1) с мультипликативными свойствами (представление числа в виде произведения);

2) с аддитивными свойствами (разложение числа на слагаемые).

Объединить эти свойства помогают алгебраический я геометрический подходы к теории чисел.

Рассматривая целые числа как корни неопределенных уравнений (при алгебраическом подходе), мы объединяем эти свойства целых чисел. При геометрическом подходе совершенно равноправны мультипликативная задача о числе делителей некоторого данного целого положительного числа и аддитивная задача о числе представлений этого числа в виде суммы двух квадратов. Геометрически обе задачи сводятся к задаче определения числа целых точек в некоторой плоской области.

Основные применения теории чисел

Первое и главное применение: объекты, задачи, идеи, понятия, методы теории чисел служат для создания и развития понятий, методов, алгоритмов в других областях математики.

Во-вторых, результаты и методы теории чисел могут применяться непосредственно, в той же форме, к другим вопросам математики, например к приближенному вычислению площадей и объемов, к решению алгебраических уравнений.

В геометрии теоретико-числовые доказательства применялись, например, для установления признаков разрешимости или неразрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Решение неопределенных уравнений в целых числах (диофантов анализ) служило у Эйлера средством освобождения от иррациональностей.

В-третьих, теория чисел применяется и в других областях науки и техники, например в кристаллографии, в радиотехнике.

“Хаос. Создание новой науки” — мировой бестселлер американского журналиста Джеймса Глика, переведенный более чем на два десятка языков, в котором он рассказывает историю возникновения науки о хаосе. Начав со случайного открытия метеоролога Эдварда Лоренца, пытавшегося создать модель долгосрочного. (Подробнее)

Сделайте каждый день завораживающим праздником с кулинарной книгой в стиле Гарри Поттера, в которой представлены вкусные рецепты магловских блюд, которые достойны побывать на столе у волшебников! Если любите каждые новогодние каникулы пересматривать волшебные фильмы, перечитывать замечательные. (Подробнее)

Пособие подготовлено на филологическом факультете МГУ в соответствии с обновленной программой, действующей с 2007 г.

Для абитуриентов, а также для учащихся старших классов и учителей школ, лицеев и гимназий. (Подробнее)

В книге рассматриваются фундаментальные. (Подробнее)

Джулия Галеф, признанный специалист по рациональному принятию решений, рассказывает, как справляться с предвзятостью мышления и предубеждениями.

Когда речь заходит об убеждениях, люди видят только то, что им хочется видеть. Иными словами, мы обладаем, как выражается автор, «мировоззрением солдата». (Подробнее)

В предлагаемой книге детально рассматривается, как на уровне нейрофизиологии формируется человеческое восприятие, происходит моделирование реальности, создаются концептуальные представления и формируется индивидуальная концептуальная система; как эти представления управляют нашим мировоззрением и определяют. (Подробнее)

Перед читателями — классический труд выдающегося ученого, пионера кибернетики в СССР и мире, создателя научных и технических основ для информационной индустрии Советского Союза, академика Виктора Михайловича Глушкова. В книге собран и обобщен материал, необходимый для построения таких разделов. (Подробнее)

Американский психолог, признанный эксперт в области эмоционального интеллекта Дэниел Гоулман утверждает, что наши эмоции играют в достижении успеха в семье и на работе гораздо большую роль, чем это принято считать. Но что же такое «эмоциональный интеллект»? Можно ли его измерить? Чем отличается. (Подробнее)

Вниманию читателей предлагается книга, в которую вошли ранние экономические работы Карла Маркса, написанные им в 1840-е годы. Главное место занимает классический труд «Экономическо-философские рукописи 1844 года», содержащий оригинальные мысли Маркса, делающие эту работу по сути истоком «Капитала». (Подробнее)

Университетский учебник для студентов физико-математических специальностей. Может быть полезен для факультетов и вузов с расширенной математической подготовкой, а также специалистам в области математики и ее приложений. (Подробнее)

Для получения полной информации о книгах
нужно указать страну доставки
Вашего возможного заказа:

Источник

Ожигова е п что такое теория чисел

Эта книга познакомит вас с кругом вопросов, которые решает теория чисел, с некоторыми приемами их решения и основными понятиями.

Заметим, что теория чисел часто вызывает интерес простотой постановки ее задач, но затем отпугивает трудностью их решения. Однако именно трудность решения задач теории чисел привлекла к ней Ферма, Эйлера, Лагранжа, Гаусса, Галуа.

В первом и втором разделах говорится о предмете, методах и приложениях этой науки, в третьем и четвертом даны краткие исторические сведения. Остальные разделы посвящены изложению отдельных вопросов теории чисел, представляющих самостоятельный интерес и доступных для читателя, незнакомого с высшей математикой.

Что такое теория чисел?

Как же ответить на этот вопрос?

Мы будем различать теорию чисел, понимая под этим науку о свойствах целых чисел, и современную теорию чисел, возникшую из первой в связи с расширением понятия целого числа и с новыми методами.

В этой брошюре мы коснемся теории чисел и некоторых истоков современной теории чисел.

В «Лекциях по математике» (1795) Лагранж писал:

Но они служат не только основой, они служат, так сказать, еще и дополнением. Так как когда находят результат, то, чтобы суметь его использовать, необходимо перевести его в числа или линии; чтобы перевести его в числа, нужна помощь Арифметики; чтобы перевести его в линии, нужна помощь Геометрии».

Леонард Эйлер, больше всех разделов математики любивший теорию чисел, горячо защищал ее от обвинений в бесплодности и отсутствии приложений:

«Среди всех проблем, которые обычно трактуются в математике, никакие не считаются большинством более бесплодными и лишенными приложений, чем те, которые состоят в изучении природы числа и исследовании делителей. Кроме того, что отыскание истины само по себе казалось бы похвальным и достойным человеческого познания, они (древние) хорошо чувствовали, что благодаря изучению этих предметов расширяется само искусство вычисления, и свойства ума становятся более способными для выполнения более трудных задач. Весьма правдоподобным кажется, что эта наука (математический анализ) никогда не достигла бы такой степени совершенства, если бы древние не посвятили столько сил развитию такого рода вопросов, какие сегодня большинство считает столь маловажными из-за их бесплодности. Потому не следует сомневаться в том, что дальнейшее усовершенствование этих вещей принесет впоследствии новые успехи анализу».

В самом деле, все развитие математики вызвано или успехами геометрии или достижениями теории чисел. Многие математические теории построены по аналогии с теоретико-числовыми. Не касаясь успехов математики, вызванных прогрессом геометрии (Евклид, Лобачевский, Риман!), остановимся на тесной связи развития математики с достижениями теории чисел.

Такие расширения понятия числа создают новые разделы математики и способствуют ее развитию. Особенно успешно действуют обобщения понятий теории чисел в тех случаях, когда они оказываются связанными с геометрией.

Так появился могущественный метод координат.

Измерение длин, площадей, объемов, объединяющее усилия геометрии и теории чисел, привело к возникновению интеграла и к созданию интегрального исчисления.

Процессы и методы теории чисел порождают аналогичные методы в алгебре, математическом анализе и т.д.

Так, алгоритм Евклида (процесс нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел) явился прообразом такого же алгоритма в алгебре многочленов, алгоритма разложения обыкновенной дроби в непрерывную. Теорема единственности разложения целого положительного числа на простые множители была источником новых идей в анализе и алгебре, основных в алгебраической и аналитической теории чисел. На ней основано знаменитое тождество Эйлера, послужившее, в свою очередь, основой для исследований П.Л.Чебыш\»ева, П.Лежен-Дирихле, Б.Римана и многих других. Теория чисел явилась источником идеи теории групп. Исследования в области теории чисел послужили основой для открытий Эвариста Галуа.

Предметом теории чисел служат свойства целых чисел. Расширение понятия числа и появление новых методов изменяют предмет теории чисел. Каждое новое расширение понятия целого числа порождает новую современную (для этого времени) теорию чисел. Возникли теория целых комплексных чисел, теория целых алгебраических чисел, арифметика кватернионов и т.д.

Исходные задачи теории чисел всегда связаны со свойствами целых чисел двух родов:

1) с мультипликативными свойствами (представление числа в виде произведения);

2) с аддитивными свойствами (разложение числа на слагаемые).

Объединить эти свойства помогают алгебраический я геометрический подходы к теории чисел.

Рассматривая целые числа как корни неопределенных уравнений (при алгебраическом подходе), мы объединяем эти свойства целых чисел. При геометрическом подходе совершенно равноправны мультипликативная задача о числе делителей некоторого данного целого положительного числа и аддитивная задача о числе представлений этого числа в виде суммы двух квадратов. Геометрически обе задачи сводятся к задаче определения числа целых точек в некоторой плоской области.

Основные применения теории чисел

Первое и главное применение: объекты, задачи, идеи, понятия, методы теории чисел служат для создания и развития понятий, методов, алгоритмов в других областях математики.

Во-вторых, результаты и методы теории чисел могут применяться непосредственно, в той же форме, к другим вопросам математики, например к приближенному вычислению площадей и объемов, к решению алгебраических уравнений.

В геометрии теоретико-числовые доказательства применялись, например, для установления признаков разрешимости или неразрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Решение неопределенных уравнений в целых числах (диофантов анализ) служило у Эйлера средством освобождения от иррациональностей.

В-третьих, теория чисел применяется и в других областях науки и техники, например в кристаллографии, в радиотехнике.

“Хаос. Создание новой науки” — мировой бестселлер американского журналиста Джеймса Глика, переведенный более чем на два десятка языков, в котором он рассказывает историю возникновения науки о хаосе. Начав со случайного открытия метеоролога Эдварда Лоренца, пытавшегося создать модель долгосрочного. (Подробнее)

Сделайте каждый день завораживающим праздником с кулинарной книгой в стиле Гарри Поттера, в которой представлены вкусные рецепты магловских блюд, которые достойны побывать на столе у волшебников! Если любите каждые новогодние каникулы пересматривать волшебные фильмы, перечитывать замечательные. (Подробнее)

Пособие подготовлено на филологическом факультете МГУ в соответствии с обновленной программой, действующей с 2007 г.

Для абитуриентов, а также для учащихся старших классов и учителей школ, лицеев и гимназий. (Подробнее)

В книге рассматриваются фундаментальные. (Подробнее)

Джулия Галеф, признанный специалист по рациональному принятию решений, рассказывает, как справляться с предвзятостью мышления и предубеждениями.

Когда речь заходит об убеждениях, люди видят только то, что им хочется видеть. Иными словами, мы обладаем, как выражается автор, «мировоззрением солдата». (Подробнее)

В предлагаемой книге детально рассматривается, как на уровне нейрофизиологии формируется человеческое восприятие, происходит моделирование реальности, создаются концептуальные представления и формируется индивидуальная концептуальная система; как эти представления управляют нашим мировоззрением и определяют. (Подробнее)

Перед читателями — классический труд выдающегося ученого, пионера кибернетики в СССР и мире, создателя научных и технических основ для информационной индустрии Советского Союза, академика Виктора Михайловича Глушкова. В книге собран и обобщен материал, необходимый для построения таких разделов. (Подробнее)

Американский психолог, признанный эксперт в области эмоционального интеллекта Дэниел Гоулман утверждает, что наши эмоции играют в достижении успеха в семье и на работе гораздо большую роль, чем это принято считать. Но что же такое «эмоциональный интеллект»? Можно ли его измерить? Чем отличается. (Подробнее)

Вниманию читателей предлагается книга, в которую вошли ранние экономические работы Карла Маркса, написанные им в 1840-е годы. Главное место занимает классический труд «Экономическо-философские рукописи 1844 года», содержащий оригинальные мысли Маркса, делающие эту работу по сути истоком «Капитала». (Подробнее)

Университетский учебник для студентов физико-математических специальностей. Может быть полезен для факультетов и вузов с расширенной математической подготовкой, а также специалистам в области математики и ее приложений. (Подробнее)

Для получения полной информации о книгах
нужно указать страну доставки
Вашего возможного заказа:

Источник