Окружность вписана в трапецию abcd известно что ad 12 bc 18
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12.
а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.
а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стягиваемые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны.
б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов 
Треугольник ABC равнобедренный, поэтому 
Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому 
Значит, 
3α.
Таким образом, по теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем: 
Приведем другое решение пункта б)
Заметим, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции. Проведем две высоты DH — из вершины D и EF — через центр окружности. Обозначим ED = x, OE = y. Тогда из треугольника EOD по теореме Пифагора имеем 
а из треугольника BOF: 
Тогда высота трапеции 
а HC = 6 – x. Напишем теорему Пифагора для треугольника DHC:
Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его.
Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 9.
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | |||||||||||||
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | |||||||||||||
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Окружность вписана в трапецию abcd известно что ad 12 bc 18Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB = BC = CD = 12. а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны. а) Острые углы BCA и CAD равны, поскольку опираются на дуги стягиваемые равными хордами AB и CD. Значит, прямые BC и AD параллельны. б) Обозначим угол BCA через α. По теореме синусов Треугольник ABC равнобедренный, поэтому Четырехугольник ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому Таким образом, по теореме синусов для треугольников ACD и ACB получаем: Приведем другое решение пункта б) Заметим, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции. Проведем две высоты DH — из вершины D и EF — через центр окружности. Обозначим ED = x, OE = y. Тогда из треугольника EOD по теореме Пифагора имеем
Подставим полученный результат в первое уравнение и решим его. Очевидно, что нам подходит только положительный корень, откуда AD = 2x = 9. Ответ: б)
|
