Около окружности описана равнобедренная трапеция докажите что ее диагональ проходит через середину
Около окружности описана равнобедренная трапеция докажите что ее диагональ проходит через середину
Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция. Все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°.
а) Докажите, что существует точка (центр описанной сферы), одинаково удаленная ото всех вершин пирамиды.
б) Найдите радиус данной сферы, если дополнительно известно, что основания трапеции равны 8 и 18, а ее боковая сторона равна 13.
а) Если все ребра пирамиды одинаково наклонены к основанию, то ее вершина проектируется в центр описанной вокруг основания окружности. Проведем через этот центр прямую, перпендикулярную основанию (она будет содержать высоту пирамиды). Построенная прямая — множество точек, равноудаленных от вершин основания. Рассмотрим плоскость, перпендикулярную боковому ребру и проходящую через его середину. Все точки этой плоскости равноудалены от концов ребра. Точка пересечения этой плоскости и ранее построенной прямой будет равноудалена ото всех вершин пирамиды и потому является центром описанной сферы.
б) Введем обозначения, как показано на рисунке. Пусть в основании лежит трапеция ABCD, точка O — центр описанной вокруг основания окружности, она также является проекцией вершины S на плоскость основания, BH — высота трапеции.
Высоту трапеции найдем из прямоугольного треугольника ABH: диагональ трапеции ВН найдем из прямоугольного треугольника ВНD:
Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника BCD. Поскольку для радиуса описанной окружности получаем:
Далее находим высоту пирамиды:
По п. а) центр сферы лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды. В этом случае радиус сферы высота пирамиды H и радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды
связаны соотношением
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | |||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | |||||||||||||||||||||||||||
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | |||||||||||||||||||||||||||
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Около окружности описана равнобедренная трапеция докажите что ее диагональ проходит через серединуОколо окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. а) Докажите, что AB — диаметр окружности, описанной около треугольника AOB. б) Найдите отношение площади четырёхугольника, вершины которого — точки касания окружности со сторонами трапеции, к площади самой трапеции ABCD, если известно, что AB = CD, а основания трапеции относятся как 1 : 2. а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO и BO — биссектрисы углов BAD и ABC соответственно. Следовательно, Если угол, вписанный в окружность, прямой, то он опирается на диаметр. Следовательно, отрезок AB — диаметр окружности, описанной около треугольника AOB. б) Пусть K, L, M и N — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD и AD данной трапеции соответственно. Тогда L — середина основания BC, потому что углы ABC и BCD равны, углы OBL и OCL равны и прямоугольные треугольники OBL и OCL равны по общему катету OL и острому углу. Аналогично N — середина основания AD. Обозначим CM = CL = BL = BK = x; DM = DN = AN = AK = y (x Пусть площадь трапеции ABCD равна S, а площадь четырёхугольника KLMN равна S1. Тогда а так как диагонали KM и LN четырёхугольника KLMN перпендикулярны, получаем, что Следовательно, Ответ: б)
|