Одномерная двухмерная и трехмерная система координат что это
Декартова система координат
Декартова система координат — система координат, включающая в себя тела отсчёта (абсолютно твёрдое тело) и 3 взаимно перпендикулярные оси (OX, OY и OZ). В школьном курсе физики и математики чаще всего обходятся двумерным (OX, OY) и одномерным (OX) случаем.
Рис. 1. Пример одномерной декартовой системы координат.
Поставим точку в любое место тетради. Данная точка будет началом отсчёта для нашей декартовой системы координат. На ней проведём линию (для упрощения, горизонтальную), которая будет делиться выбранной точкой примерно пополам. Представим нашу линию как вектор (допишем стрелочку на правом окончании линии) и выставим обозначения: пусть точка называется О, а над стрелкой поставим букву X (рис. 1).
Таким образом, мы задали луч OX, являющийся элементом одномерной декартовой системы координат. Далее выберем, так называемый, единичный отрезок — отрезок, длину которого выберем за единицу (в тетради в клетку удобно в качестве него выбрать одну клетку) и отложим его справа и слева от нашей точки О (рис. 2).
Рис. 2. Масштабирование в одномерной декартовой системе координат
Теперь настало время ответить на вопрос: зачем мы это делали? Введя единичные отрезки подобным образом, мы теперь имеем возможность численно описать положение и изменение положения точки (тела). Таким образом, если мы поставим любую точку на прямой, мы сможем приписать ей число, которое будет характеризовать расстояние от нашей выбранной точки до начала координат (рис. 3).
Рис. 3. Введение единичного отрезка. Координаты точки.
Рис. 4. Двумерная декартова система координат
Теперь вспомним, что часто движение в задачах происходит в двумерном пространстве. Для описания положения тел в этом случае используется двумерная система координат (XOY). Для задания данной системы координат достаточно взять две перпендикулярные оси (вектора под углом 90 градусов). Единичные отрезки выбираются для нужд задачи (по каждой из осей они могут быть свои) (рис. 4).
Для наглядности, вдоль осей выбраны разные единичные отрезки ( и ). Поставим точку А в любое место плоскости. Опуская перпендикуляры на обе оси, мы находим точки пересечения перпендикуляров с осями. Сами точки пересечения отсекают какое-то количество единичных отрезков по соответствующим осям. Таким образом, мы можем приписать выбранной точке А два числа (в нашем случае, 5 и 3). Данные числа символизируют координаты (а значит, и положение) точки на координатной плоскости. Записывать координаты точки принято в форме (X,Y), т.е., в нашем случае, A(5,3).
Не особо часто, но встречается также трёхмерная декартова система система координат (рис. 5).
Рис. 5. Трёхмерная декартова система координат
Общий вывод. Введение декартовой системы координат позволяет математически описать положение и изменение положения точки на плоскости и в пространстве. Усвоив правила построения системы, каждый испытатель может проанализировать решения и выводы других исследователей и предложить своё решение любой задачи в математических формулах, которое будет понятно остальным.
Что такое полярные координаты?
Человеку всегда было важно понять свое место в окружающем мире. Причем не только в пространстве, но и во времени, и в социуме. Оставим в стороне время и социум, это тема отдельного большого разговора.
Сосредоточимся на пространстве. Как определить свое местоположение, местоположение других людей и окружающих предметов? И, что даже более важно, как сообщить это местоположение другим?
Этюд о координатах
Что определить абсолютное местоположение невозможно люди поняли очень давно. Можно только относительно чего либо, какого либо ориентира. Пример такого относительного позиционирования можно найти у Конан Дойля в «Обряд дома Месгрейвов». Помните?
«Сколько надо сделать шагов?» «На север — десять и десять, на восток — пять и пять, на юг — два идва, на запад — один и один и потом вниз».
В современной терминологии, ориентир и набор условий, которые определяют его использование, называют системой координат. А сами координаты определяют положение объекта в этой системе.
Развитие мореплавания, астрономии, геометрии, других наук, потребовало более точного и единообразного способа задания координат объектов. Давайте повнимательнее посмотрим на некоторые системы координат, их применение, изменение, и взаимосвязь между ними. В этой статье, как всегда, будет математика, но почти не будет физики.
Одномерная система координат
Давайте вспомним статью «Сага о треугольниках». Там я немного касался темы систем координат, когда говорил о прямой и плоскости. Начнем с простейшего случая — координатного луча.
Точку, относительно которой указывается положение, или координата, других точек называют началом координат. Обычно ее обозначают «0». Расстояние от начала координат до точки А (в нашем примере) называют координатой. В данном случае координата может быть только положительной, что кажется лишним, и искусственным ограничением. Это можно изменить
Название «координатная прямая» не совсем верное. Прямая не имеет направления. Луч имеет направление, но при этом имеет начало (как в первом случае). Тем не менее, буду использовать именно термин координатная прямая.
Но для любителей точности могу сказать, что так как точка делит прямую на два луча, то направление одного из них можно принять за положительное, а другого за отрицательное. Направление положительного луча обозначим стрелкой, а направление отрицательного ничем не будет обозначаться.
Точка, разделившая прямую на два координатных луча, относительно которой указывают местоположение (координаты) других точек, точно так же называется началом координат.
В этом примере «координату точки А» можно просто обозначить как «А», и она положительна. Координата точки Б отрицательна и обозначается как «-Б». Расстояние между двумя точками определяется как разность их координат. Исходя из этого получим, для нашего примера, расстояние АБ=А-(-Б)=А+Б.
Несмотря на простоту эта система координат применяется достаточно широко. Посмотрите на обычную линейку. Посмотрите на градусник. И это лишь простейшие примеры того, где она применяется.
Двумерная прямоугольная система координат. Декартова система координат
Теперь возьмем две пересекающиеся под прямым углом координатные прямые на плоскости. Мы получим самую широко используемую систему координат Декартову прямоугольную систему координат. Ее знают все еще со школьной скамьи. Ее я тоже упоминал, кратко, в статье «Сага о треугольниках». Давайте посмотрим на нее внимательнее.
Пока все просто, совсем как в школьных учебниках. Теперь координаты точки на плоскости задаются парой чисел. Точка А имеет координаты (Xа,Ya), а точка Б (Хб,-Yб). Координата Х называется абсциссой, а Y ординатой. Расстояние между точками А и Б, или длина отрезка АБ, теперь определяется гораздо сложнее
Откуда взялась эта формула? Если бы отрезок АВ был параллелен оси Х, то его длина была бы равна Хв-Ха, точно так же, как в одномерной системе координат. А если он будет параллелен оси Y, то Yb-Ya. Но у нас отрезок координатным осям не параллелен. А теперь посмотрите на эту же иллюстрацию под несколько другим углом
Видите прямоугольный треугольник? Да, мы опять встретили старого знакомого. И наш отрезок это гипотенуза треугольника. Если вспомнить, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то приведенная выше формула становится совершенно очевидной и понятной.
В декартовой системе координат можно задавать не только точки, но и произвольные плоские кривые (мы пока говорим о плоскости). Кривые задаются функциями определяющими зависимость между X и Y. Вот примеры нескольких, хорошо знакомых вам, еще со школы, кривых
Пока ничего особо интересного не было. До сих пор мы не выходили за пределы школьного учебника, но сейчас сделаем небольшой, совсем небольшой, шаг в сторону аналитической геометрии. Не пугайтесь, для понимания будет достаточно знаний геометрии и тригонометрии в рамках школьной программы.
Иногда нужно сменить систему координат, например, для упрощения расчетов. Так координаты вазы на столе можно отсчитывать от угла комнаты, а можно от угла стола. И тут у нас возникает вопрос, а как же изменятся координаты? Другими словами, нам нужны правила преобразования координат между двумя системами координат.
Сначала рассмотрим простейший пример переноса точки начала координат из точки О в точку О1. При этом у нас координатные оси новой системы координат будут параллельны координатным осям старой системы координат
Тут все просто, простейшая арифметика. Мы сдвинули точку начала координат O(0,0) в точку O1(dx,dy). При этом, в новой системе координат точка О1 будет иметь координаты (0,0). Преобразование координат между старой и новой системами будет таким
Но мы можем не только перенести начало координат, но и повернуть новую систему координат.
В этом случае преобразование координат будет сложнее. Я не буду приводить полный вывод формул преобразования координат, что бы излишне не усложнять статью, но покажу, откуда они берутся. Для этого рассмотрим упрощенный случай поворота системы координат без переноса ее начала
Поворот системы координат вокруг своего начала на угол α против часовой стрелки эквивалентен повороту точки А вокруг начала координат на тот же угол, но уже по часовой стрелке. Мы видим два прямоугольных треугольника. Если связать изменение абсциссы и ординаты точки А с углом поворота и добавить сдвиг начала координат, то получим вот такие формулы преобразования
Те, кто знаком с аналитической геометрией, без сомнения, узнали эти формулы. А остальные теперь узнали, откуда они взялись и могут просто применять их, если потребуется.
Давайте вернемся в рамки школьной программы. Кроме замены системы координат возможен и более простой случай преобразования координат. Я говорю об изменении масштаба по осям. По другому это можно назвать деформацией.
Масштаб по осям Х и Y может быть разным. При этом точка начала координат остается на месте. Я не буду приводить формулы преобразований, настолько они просты. Все преобразование будет сводиться к умножению, или делению, на коэффициент масштабирования.
Безусловно, возможно и одновременное выполнение переноса центра координат с поворотом и масштабированием.
Двумерные системы координат. Общий случай
На самом деле, система координат не обязательно требует прямого угла между осями координат. Угол может быть любым. Если при этом оси координат остаются прямыми линиями мы получим аффинную систему координат. Пример аффинной системы можно найти в статье «Сага о треугольниках», правда там я ее так не называл.
Рассмотрение подобных систем координат выходит далеко за рамки статьи, поэтому я ограничусь лишь этим примером.
Трехмерная декартова система координат
А если мы перейдем в более привычный нам трехмерный мир? К системе координат добавится ось Z. Теперь у нас Х это ширина, Y это высота, а Z это глубина пространства. Если воспользоваться обычным языком, а не математическим. Координата Z называется аппликатой
При этом с направлением оси Z могут быть варианты. Она может идти от нас, как показано на рисунке, или к нам. Это не меняет саму суть системы, но влияет на знак координаты z. Иногда говорят о правосторонней и левосторонней системах координат.
На рисунке я изобразил левостороннюю. Если бы ось Z шла к нам, то система была бы правосторонней. Точки Ayoz, Axoz и Axoy, на рисунке, являются проекциями точки А на соответствующую координатную плоскость.
С трехмерной декартовой системой координат возможны те же самые преобразования, которые мы рассматривали для двумерной. Но сами формулы будут гораздо сложнее и я не буду их приводить. При желании, их можно найти в учебниках аналитической геометрии.
Полярная система координат
Вы когда-нибудь задумывались о том, насколько противоестественной для человека является декартова система координат? Действительно, эта система фактически «взгляд со стороны», тогда как человек чаще всего чувствует центром именно себя.
Вы же не считаете, что, например, дерево расположено от вас в 5 шагах точно направо и 8 шагах точно вперед? Гораздо привычнее сказать, что дерево впереди и немного правее вас и расстояние до него шагов 10.
Этого мало? Посмотрите, например, на свою руку. Она имеет несколько центров вращения — плечо, локоть. И длина костей руки неизменна. Посмотрите на промышленных роботов, например, работающих на сборке автомобиля. Та же самая картина, несколько центров вращения (называемых осями) и сегменты неизменной длины.
Так не проще ли задавать координаты в виде угла поворота относительно центра вращения и расстояния от центра вращения до точки? Пилоты самолетов примерно этим и пользуются. Например, другой самолет на 10 часах и в 100 метрах означает, что он впереди и левее на 60 градусов, а расстояние до него 100 метров.
В математике такая система координат называется полярной. Вместо расстояний по осям в ней задается расстояние от полюса, центра координат, и угол, отсчитываемый против часовой стрелки, от полярной оси.
В полярной системе координаты точки А будут (r,φ). Выглядит непривычно? Между тем, полярная система координат, хоть и менее распространена, чем декартова, среди не математиков, находит широкое применение.
При этом надо отметить, что угол φ обычно лежит в пределах от 0 до 180 градусов. Или, что тоже самое, от 0 до π. Если угол больше 180 градусов, то меняют на угол противоположного знака (отсчет не против, а по часовой стрелке). Уравнениях некоторых кривых в этой системе выглядят проще, чем в декартовой
Да, уравнение окружности, центр которой не расположен в полюсе, выглядит сложноватым. Зато уравнение окружности с центром в полюсе очень простое. А мы ведь всегда можем сменить систему координат перенеся полюс. Прямая линия в полярной системе задается через нормаль, а не двумя точками, но само уравнение достаточно простое.
Кроме механики, я уже говорил о движениях роботов, полярная система находит применение и для работы с комплексными числами. А значит, широко применяется, например, в электротехнике и электронике (помните угол сдвига фазы?). Может использоваться и для векторных вычислений.
Я не буду рассматривать преобразования (сдвиги и вращения) для полярной системы координат. Те, кто в таких преобразованиях нуждаются, аналитическую геометрию и так знают. А для остальных это будет не слишком интересно, Но покажу, как она связана с ранее описанной декартовой системой координат. Да, это опять будут прямоугольные треугольники
Теперь мы можем выразить угол через отношение катетов, то есть координат точки А. А длину вектора r определить через теорему Пифагора. Точно так же легко выполняется и обратное преобразование.
Но давайте посмотрим на эти формулы внимательнее, нет ли тут скрытых проблем? А они есть! Что если наша точка лежит на одной из координатных осей? Увидели? Я специально выделил это красным. Это показывает, что нельзя бездумно применять формулы. Поэтому угол φ обычно вычисляют по другим формулам
В статье приведены формулы вычисления угла в том виде, в каком они приводятся в аналитической геометрии. Однако, в первоначальном варианте я приводил формулы для arcsin и arccos, так как хотел приблизить из вид к «школьному» для упрощения восприятия читателями. Но, как известно, благими намерениями вымощена дорога в ад.
И я упустил из виду, что области значений arcsin и arccos не охватывают всего диапазона от 0 до 360 градусов, так как при этом возникает неоднозначность. Таким образом, использование arcsin и arccos требует отдельного учета знака декартовых координат (номера квадранта), что наоборот усложняет их использование.
И я не указал этой особенности. Спасибо Трушину Виктору, который заметил эту оплошность в х. Это не решает проблему полностью, так как остается еще точка лежащая в начале координат. Но это особый случай, так как эта точка является полюсом. Для полюса невозможно указать угол φ, но сам полюс вполне однозначно определяется условием r=0.
Полярная система координат в пространстве
А что насчет полярной системы координат в трех измерениях? А вот тут возможны варианты. Во первых, мы можем провести ось из полюса перпендикулярную нашей плоскости и отсчитывать дополнительную координату по этой оси. Это даст нам цилиндрическую систему координат
Я уже признавался, что художник из меня плохой, поэтому привожу иллюстрацию из учебника аналитической геометрии кафедры математики физического факультета МГУ.
В цилиндрической системе координат координаты точки М будут (ρ,φ,z).
Но мы может указывать дополнительную координату и как угол к этой оси. Что дает нам сферическую систему координат.
Иллюстрация из учебника кафедры математики физфака МГУ
В этой системе координат точка М будет иметь координаты (r,φ,Θ).
Обратите внимание, что цилиндрическая и сферическая системы координат различаются лишь способом задания и записи координат. Сами системы определяются идентично — плоскостью, в которой лежит полюс и задается угол φ, и ортогональной это плоскости осью.
Я не буду приводить формулы для преобразования между Декартовой трехмерной системой координат и полярными трехмерными системами координат. Что бы не перегружать и не усложнять статью. Желающие могут найти их в учебниках аналитической геометрии.
Заключение
Пожалуй, на этом я остановлюсь. Я не затронул многие другие системы координат. В астрономии используют топоцентрическую, экваториальные, эклиптическую и галактическую системы координат. Координаты объектов на поверхности земного шара (и глобусе) определяются в географической системе координат.
Думаю, все слышали про параллели и меридианы, широту и долготу. Существует геодезическая система координат, учитывающая форму Земли. Есть астрономическая система координат позволяющая определить координаты объектов на поверхности Земли по положению звезд.
Этой системой координат пользовались, например, моряки в своих плаваньях к неизвестным берегам. Эта статья не учебник, это небольшой, и сильно упрощенный, безусловно, далеко не полный, обзор некоторых систем координат использующихся в математике и физике.
И рассчитана она не на корифеев математики, а на интересующихся математикой и физикой обычных людей. Для кого то она слишком проста, для кого то слишком сложна. Ее цель заинтересовать.
Одномерная двухмерная и трехмерная система координат что это
ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Аннотация
Представления о Реальности, как многомерном пространственном образовании, имеют некоторые логические сложности. Если бы Реальность имела четыре или более пространственных координат, то в ней должны были бы наблюдаться явления, противоречащие известным физическим законам, логике и обыденному здравому смыслу.
_________________________________________
Введение
Пространство нулевой мерности
Рис.1 Нульмерное пространство (точка) в Пространстве Материи, не имеющей по определению измерений
Внутри фрагмента Пространства Материи изобразим точку – нульмерное пространство и рассмотрим, какими особенностями оно обладает. Поскольку мы предполагаем рассмотреть целый класс пространств, то нам необходимо выделить что-то общее в них, признаки, объединяющие эти пространства. Это позволит увидеть и понять поведение самых существенных из этих признаков. Поэтому здесь и далее мы будем исходить из следующих правил:
1. свойства данного пространства должны быть присущи и пространству большей мерности;
2. пространство большей мерности может иметь дополнительные свойства, не присущие данному пространству;
3. соотношения между смежными пространствами должны быть схожи, включая способы перехода от данного пространства к пространству большей мерности.
В первую очередь нас интересует следующее соотношение между пространствами: как «видится», как воспринимается некий объект из любого пространства. Причиной этого интереса являются известные описания восприятия четырёхмерного объекта из нашего трёхмерного мира. Считается, что в целом невозможно «поместить» четырёхмерный объект в трёхмерный мир, и он воспринимается как сечение, срез этого объекта, его проекция на трёхмерное пространство. Это свойственно всем смежным пространствам. Действительно, поместить, например, в нульмерное пространство одномерный объект – линию – невозможно. При прохождении такого одномерного объекта через нульмерное пространство, условные обитатели последнего могут наблюдать только то, что в принципе доступно наблюдению в этом пространстве – нульмерные объекты. То есть линия будет проецироваться в нульмерном пространстве в точку с нулевыми размерами:
Рис.2 Пересечение одномерным объектом нульмерного пространства приводит к появлению в последнем только нульмерной проекции.
Здесь и далее для наглядности мы изображаем нулевые размеры (толщину линий, объектов) некоторыми объёмными (стилизованными) фигурами, подразумевая, что эти объёмы и размеры на самом деле равны нулю. Для «наблюдателей» (понятно, что такие наблюдатели сильно отличаются от привычных для нас трёхмерных наблюдателей) нульмерного пространства возможно наблюдение лишь краткого фрагмента объекта одномерного. При этом они, очевидно, будут наблюдать удивительное явление: возникший в их мире из ниоткуда объект затем странным, необъяснимым образом изменяется. Например, одномерная линия может быть неоднородной и иметь на своём протяжении различную массу или цвет. Для наблюдателя нульмерного пространства такой появившийся из ничего объект без всякой причины изменяет свою массу или цвет. Напротив, для наблюдателя одномерного мира при этом ничего странного не происходит: просто линия перемещается через эту точку.
Очевидно, что такая же картина будет наблюдаться и при перемещении через нульмерное пространство другого объекта – двухмерного. На рис.3 показано такое движение. Жёлтым цветом изображён двухмерный прямоугольный объект, а красные сферы – нульмерный объект. Как и в первом случае, наблюдатели нульмерного пространства будут с удивлением наблюдать, как возникший из ничего объект меняет свои характеристики:
Рис.3 Пересечение двухмерным пространством нульмерного для последнего приводит к появлению лишь нульмерной проекции. Для удобства изображения движущимся показано нульмерное пространство – иначе рисунок был бы загроможден несколькими наложенными друг на друга плоскостями двухмерного объекта.
На рисунке для удобства изображения движущимся показано нульмерное пространство. Если бы это пространство (красная сфера) было изображено неподвижным, то пришлось бы изобразить в движении плоскость (двухмерное пространство), что сильно затемнило бы рисунок. Двухмерное пространство приближается к нульмерному и пересекает его (условно это показано отверстием в двухмерной плоскости). В моменты пересечения объектов наблюдатели нульмерного пространства регистрируют возникновение из ничего нового объекта, который, очевидно, обладает всеми свойствами объекта двухмерного: например, цветом, плотностью, вязкостью и другими, соответствующими той зоне, в которой находится нульмерный объект. Плоскость двухмерного пространства может перемещаться далее таким образом (влево), что будет непрерывно пересекать область нульмерного пространства, всегда находясь в нём своей частью. Наблюдателям нульмерного пространства при этом будет доступна для регистрации именно та часть двухмерного пространства, которая пересекается с ним. Поэтому они будут фиксировать беспричинное, ничем не объяснимое изменение свойств новоявленного образования: изменение цвета, массы, плотности и прочего. Понятно, что это будет происходить только в том случае, если двухмерное пространство (плоскость) будет, соответственно, неоднородной по своей поверхности. В дальнейшем, когда двухмерное пространство, плоскость изменит направление своего движения (сместится, например, вверх) и выйдет из соприкосновения с нульмерным пространство, в последнем произойдёт чудо исчезновения этого объекта.
Точно такая же картина будет наблюдаться и при пересечении нульмерного пространства объектом трёхмерного пространства:
Рис.3а Пересечение трёхмерным пространством нульмерного для последнего приводит к появлению лишь нульмерной проекции. Для удобства изображения движущимся показано нульмерное пространство.
Движущийся вверх – по оси z – трёхмерный объект (куб) в некоторый момент времени приходит в соприкосновение с нульмерным пространством, которое как бы движется сквозь этот куб вдоль изображенного на рис.3 канала. Наблюдателям нульмерного пространства будут доступны для восприятия те области куба, которые в данный момент пересекаются с ними. Если куб неоднороден, то наблюдаемые свойства будут изменяться без всякой видимой причины: плотность, цвет, диэлектрическая проницаемость, вязкость и прочее. Когда нульмерное пространство достигнет края куба и выйдет из него, в нульмерном пространстве неожиданно исчезнет этот объект. Никакими классическими физическими законами объяснить это будет нельзя.
Во всех рассмотренных случаях объекты большей мерности (одно-, двух- и трёхмерные) имеют нулевые условные проекции в нульмерном пространстве. Можно предположить, что эта закономерность справедлива для всех мыслимых пространств большей мерности.
Рис.4 Одномерное пространство. В нем невозможно отобразить трёхмерный объект, но нульмерный отображается однозначно.
Здесь ось x является упомянутым вновь образованным одномерным пространством. Как видно из рисунка, в одномерном пространстве трёхмерный объект – куб поместиться не может. Однако любой нульмерный объект отображается в этом пространстве вполне определенной величиной – координатой. Следовательно, нульмерное пространство имеет единственную проекцию в одномерном пространстве (то есть, координату). При перемещении произвольного нульмерного объекта вдоль одномерного пространства, он помещается в нём целиком и наблюдателю одномерного пространства он виден как цельный, со всеми своими свойствами, объект.
В соответствии с принятыми правилами можно заметить, что по отношению к пространству большей мерности – двухмерному, трёхмерному и так далее, наблюдаются такие же явления, как и для нульмерного пространства. Например, при пересечении одномерного пространства с двухмерным, наблюдатели одномерного пространства видят такое же удивительное явление: ниоткуда вдруг появляется объект одномерного мира, который совершенно необъяснимым образом изменяет свои свойства. Он может изменить свою длину, цвет, массу и даже просто исчезнуть в никуда:
Рис.5 При пересечении одномерного пространства двухмерным объектом, в одномерном пространстве появляется одномерная проекция.
Рис.6 При пересечении одномерного пространства трёхмерным объектом, в одномерном пространстве появляется одномерная проекция.
И в этом случае в одномерном пространстве появится новый одномерный объект длиной S. При этом для наблюдателя одномерного пространства нет никакой возможности определить, к какому «родительскому» пространству относится наблюдаемый объект: одномерному (с волшебными свойствами), двухмерному, трёхмерному или более мерному пространству. При движении трёхмерного объекта сквозь одномерное пространство (линию) наблюдатели последнего будут фиксировать различные свойства отрезка S: плотность, цвет, вязкость и другие, которые в общем случае для них будут изменяться по неизвестной причине, без закономерностей. Трёхмерный объект может двигаться вдоль линии одномерного пространства или поперек него в двух возможных ортогональных направлениях, а также может вращаться вокруг любой оси. Все эти случаи проявляются в одномерном пространстве в изменении величины S и смещении этого отрезка вдоль оси одномерного пространства. Как отмечено, в одномерное пространство при этом «попадают» различные области трёхмерного объекта, которые в общем случае могут иметь различные свойства.
Как видим, первые два правила соблюдены, а третье правило вступит в силу, когда появится возможность сравнить два перехода от пространства к пространству (здесь мы имеем лишь один переход – от нульмерного к одномерному пространству).
Рис.7 Двухмерное пространство не позволяет отобразить трёхмерный объект.
Здесь ось y является вновь введенной координатой, приводящей к образованию двухмерного пространства xy. Как видно из рисунка, в этом двухмерном пространстве трёхмерный объект – куб, как и в предыдущем случае одномерного пространства, поместиться не может. Зато в этом пространстве теперь вполне определенной величиной – координатами могут быть отображены объекты меньшей мерности – нульмерные (точка на плоскости xy) и одномерные (линия на плоскости xy). Объекты же трёхмерные могут отобразиться только в виде проекций. Например, при движении куба по третьей координате, он пересечёт плоскость двухмерного пространства и будет воспринят «наблюдателями» двухмерного мира как двухмерный объект – сечение трёхмерного объекта плоскостью двухмерного пространства (проекция трёхмерного объекта на плоскость двухмерного пространства xy):
Рис.8 При пересечении двухмерного пространства трёхмерным объектом, в двухмерном пространстве появляется лишь двухмерная проекция.
В этом пространстве теперь вполне определенной величиной – координатами могут быть отображены объекты меньшей мерности – нульмерные (точка на плоскости xy), одномерные (линия на плоскости xy) и двухмерные (плоскости в пространстве xyz). Здесь мы можем предположить, что объекты большей мерности в полученном трёхмерном пространстве могут отобразиться в виде трёхмерных объектов (трёхмерных проекций). Например, следует предположить, что при движении, скажем, четырёхмерного куба по четвертой координате, он пересечёт объём трёхмерного пространства и будет воспринят «наблюдателями» трёхмерного пространства как трёхмерный же объект – сечение четырёхмерного объекта объемом трёхмерного пространства (проекция четырёхмерного объекта на объем трёхмерного пространства xyz). Таким «сечением» или проекцией для трёхмерного пространства может считаться любой объект, который мы наблюдаем в реальности. Видимо, при движении четырёхмерного объекта по четвертой координате в нашем трёхмерном мире должны наблюдаться такие же загадочные явления, какие описаны для пространств меньшей размерности. То есть, в пространстве может возникнуть из ничего некий объект, причём его свойства могут изменяться самым удивительным образом, ничем не объяснимым, с нарушением всех мыслимых законов физики. Например, объект может появиться из ничего, исчезнуть в никуда, может изменять свои размеры, массу, цвет и прочее.
Изображение в трёхмерном пространстве объектов меньшей мерности и наоборот было показано выше. Следует ожидать, что правила отображения в трёхмерном пространстве объектов четырёхмерного пространства должно подчиняться тем же правилам. В частности, эти четырёхмерные объекты могут быть изображены в виде проекций на координатные плоскости. Поскольку пока не вполне ясно, как это произвести на практике, рассмотрим сначала собственно четырёхмерные объекты.
Рис.10 Двухмерные проекции четырёхмерного куба.
Нетрудно заметить полное сходство с проекциями в трёхмерном пространстве. Отсюда и следует вывод: четырёхмерный куб полностью аналогичен в изображении кубу трёхмерному.
В соответствии с третьим правилом, для четырёхмерного пространства произведено «добавление», суммирование дополнительных элементов – объемов. В частном случае, если рассматривать пространство как дискретное (целочисленное), к исходному кубу (объему) прибавляются новые кубы. То есть, каждой дискретной координате m=1, 2, 3… и так далее соответствует свой собственный куб. Это разные кубы, имеющие каждый собственный набор свойств. Однако такое прибавление кубов визуально осуществимо и в трёхмерном мире, тогда в чем же разница? Разница в том, что каждый дополнительный объем находится вне трёхмерного мира. Он невидим в трёхмерном пространстве, вернее, всегда виден лишь один куб из набора. Если трёхмерное пространство условно представить плоскостью, то трёхмерные кубы-элементы «висят» над этой плоскостью. То есть такие кубы как бы соединены в своеобразную цепочку таким же образом, как были соединены плоскости при образовании объёма (объемного пространства). В четырёхмерном же пространстве этот куб един, то есть по координате m мы можем изобразить лишь одну проекцию, один куб. Как этот куб просматривается с точки зрения пространства трёхмерного? Поскольку куб имеет полностью совпадающие проекции, изобразим лишь одну из них, объединив как одинаковые три координаты xyz, и приняв за определяющую новую, четвертую координату:
Рис.11 При движении четырёхмерного объекта по четвертой координате, в трёхмерном пространстве могут возникнуть трёхмерные проекции (тела), а могут и не возникнуть.
Рис.12 При движении пирамидального четырёхмерного объекта (четырёхмерной пирамиды) по четвертой координате, в трёхмерном пространстве могут возникнуть трёхмерные проекции (тела), величина которых зависит от сечения пирамиды по четвертой координате.
При движении такой пирамиды (на рисунке – влево) через трёхмерное пространство в нём будет наблюдаться изменяющийся по размерам куб. Сначала, когда пирамида коснётся пространства xyz, возникнут координаты трёхмерного объекта куба размером, равным основанию пирамиды. Далее по мере движения пирамиды влево по рисунку размеры куба будут плавно уменьшаться и, наконец, когда пирамида коснётся вершиной пространства xyz, куб в этом пространстве исчезнет.
Ещё одной простейшей симметричной четырехмерной фигурой, очевидно, является сфера. В случае центрального размещения четырехмерной сферы – с центром в начале координат – все её проекции, как и у четырехмерного куба, должны быть одинаковыми. Как и у четырехмерного куба таких проекций шесть (на условной схеме мы изобразим троицу из них):
Рис.13 Четырёхмерная сфера в виде обобщённой трёхмерной проекции (все проекции имеют одинаковый вид).
Рис.14 Сложный четырёхмерный объект «Яйце-Курица». По четвертой координате даны дискретные обобщенные изображения (трёхмерные проекции). На самом деле четырёхмерный объект является монолитным, и между двумя соседними проекциями пространственных разрывов нет.
Если четырёхмерный объект состоит их этих четырёх конкретных проекций, то переход от одной из них к другой будет происходить скачкообразно. Если же четвёртую пространственную координату «привязать» к оси времени, то она становится эволюционной осью, а между каждыми из двух трёхмерных объектов – проекций добавим все их промежуточные (эволюционные) значения. В этом случае при движении по четвёртой координате (не обязательно связанной со временем) такого «яйце-куриного объекта» в трёхмерном пространстве будет наблюдаться плавное эволюционное преобразование «яйцо – цыплёнок – курица».
Широко распространённым и весьма наглядным примером четырёхмерного пространства можно признать скринсэйвер (хранитель экрана) «Метаморфозы» в компьютерной операционной системе MS Windows. Когда работа на компьютере приостановлена, на экране появляется объект, который плавно изменяет свои очертания, поочередно принимая форму то разноцветного куба, то шарообразных или овальных фигур, связанных в единое целое:
Рис.15 Сложный четырёхмерный объект – скринсэйвер ОС MS Windows «Метаморфозы». По четвертой координате даны дискретные обобщенные изображения (трёхмерные проекции). На самом деле четырёхмерный объект является монолитным, и между двумя соседними проекциями пространственных разрывов нет.
Фактически этот объект представляет собой последовательность форм, проявляющихся в условном трёхмерном (3D) пространстве экрана монитора при движении его через это пространство по четвёртой координате. Движение может быть дискретным, тогда четырёхмерный объект представляет собой простую последовательность трёхмерных объектов.
Наиболее простым, ярким и самым известным представителем такого четырёхмерного объекта можно считать киноленту. Каждый кадр её – это дискретный элемент (трёхмерная проекция) четырёхмерного объекта, представленная в фотографической аксонометрии, а передвижение ленты через проектор – это перемещение по четвертой координате, в результате чего в трёхмерном пространстве отображаются кадры киноленты (трёхмерные проекции). Если кадры сделать достаточно подробными, частыми, то, устремив в пределе к нулю разницу между двумя соседними кадрами, можно получить непрерывный (сплошной) четырёхмерный объект.
Упрощенно явление движения четырёхмерного объекта с дискретным превращением, переходом от одной трёхмерной проекции к другой (метаморфозы) можно изобразить следующей схемой:
Рис.16 Сложный четырёхмерный объект – метаморфозы куба в эллипосоид. По четвертой координате m даны дискретные обобщенные изображения (трёхмерные проекции). На самом деле четырёхмерный объект является монолитным, и между двумя соседними проекциями пространственных разрывов нет.
Здесь показано движение точки А четырёхмерного объекта в процессе дискретного изменения координаты m. На рисунке условно принято, что объект по двум трёхмерным координатам, например, y и z симметричен, то есть его проекции на эту плоскость – это квадрат, ромб, круг, в то время как на две другие плоскости (xy и xz) – прямоугольник, вытянутый ромб, овал. Весь объект в целом в трёхмерном пространстве преобразуется при движении по четвертой координате дискретно (скачками) из куба в эллипсоид. Другими словами, в трёхмерном пространстве наблюдатели будут видеть изначально небольшой голубой кубик, который в одно мгновение превращается в большой зелёный ромб, ещё через некоторое время мгновенно превращается в жёлтый кристалл и, наконец, в сильно вытянутый синий эллипсоид.
Ещё раз подчеркнем, что этот объект в реальности вполне может быть монолитом, а не упрощённым набором изображённых на схеме отдельных фигур. Действительно, с некоторой степенью условности этот объект можно изобразить непрерывным (рис.17) –криволинейной пирамидой. Координаты 1 – 4 по оси m на рис.16 соответствуют фрагментам, слоям, сечениям этой пирамиды. Таких слоёв, сечений бесконечное множество и все они, как отмечалось, «нанизаны» на ось m. Как видно на рис.17 по вертикальной оси m можно получить не только приведённые выше дискретные слои с координатами m=1, 2, 3, 4 (выделенные цветом слои – сечения), но и любое промежуточное значение. Как принято в данной статье, для наглядности, на рисунке показаны две традиционные пространственные координаты x, y и четвертая координата m. Третьей пространственной координате на рисунке может быть, например, присвоено фиксированное значение z=h. В этом случае каждое из трёхмерных сечений четырёхмерного объекта (криволинейной пирамиды) будет представлять собой «блин» высотой h: сверху блин-квадрат, снизу – блин-овал. Такие «блины», конечно, можно «разглядеть» и на рисунке 17, однако, не нужно забывать, что высота блина – это его измерение по координате z, а не по координате m, как может показаться из рисунка.
Рис.17 Сложный четырёхмерный объект – непрерывная криволинейная пирамида, представляющая собой метаморфозы куба в эллипсоид или метаморфозы «блинов».
Рис.18 Трёхмерный куб как частная трёхмерная проекция четырёхмерного куба.
Эти трёхмерные проекции «нанизываем» на четвёртое измерение и получаем аксонометрию четырёхмерного куба в четырёхмерном пространстве:
Рис.19 Четырёхмерный куб (тессеракт), представленный в виде дискретных частных трёхмерных проекций, «нанизанных» на четвёртую координату. В целом четырёхмерный куб является монолитным, и между двумя соседними трёхмерными проекциями пространственных разрывов нет.
Здесь принято, что этот куб неподвижен по всем четырём координатам. Отсутствие движения позволяет показать на рисунке дискретные значения проекций для некоторых произвольных значений четвёртой координаты m= 0, 1, 2, 3, 4. Перекрытие слоёв (проекций) показано штриховыми линиями (прозрачностью) лишь для значения m=3, чтобы не загромождать рисунок. Напомним, что в реальности все фигуры (проекции) в четырёхмерном пространстве являются монолитом, то есть в нём нет такого явного разделения на слои (проекции). Четырёхмерный куб при этом является скорее своеобразной «колбасой», чем «железнодорожным составом» из отдельных трёхмерных кубиков, которые просто присоединены друг к другу.
В качестве ещё одного примера сложного четырёхмерного объекта можно привести объект, сформированный по мотивам мультфильма «38 попугаев», который изображён на следующем рисунке:
Рис.20 Четырёхмерный объект «Слоно-удаво-мартышко-попугай 38», представленный в виде дискретных частных трёхмерных проекций, «нанизанных» на четвертое измерение (координату). В целом четырёхмерный объект является монолитным, и между двумя соседними трёхмерными проекциями нет пространственных разрывов, а есть специфические «слоно-удав», «удаво-мартышка» и «мартышко-попугай».
Пятимерное пространство и пространства большей мерности
Теперь добавим к четырёхмерному пространству новое, пятое измерение k. В полученной системе, очевидно, появились 4 новые плоскости проекций kx, ky, kz и km. Такой пятимерный куб будет иметь, очевидно, следующие десять двухмерных проекций:
Рис.21 Двухмерные проекции пятимерного куба.
Такие двухмерные проекции – это то общее, что объединяет все многомерные пространства. Очевидно, что каждое из пространств имеет проекции во всех младших пространствах. Для пятимерного пространства это проекции на точку, на линию, на плоскость, трёхмерная и четырёхмерная проекции. Нас интересуют традиционно самые распространённые проекции – двухмерные. Это проекции самые простые в изображении, в высшей степени информативные и практически на все 100 процентов соответствующие нашему бытовому восприятию окружающего мира. Хотя зрение человека и трёхмерно, однако плоское восприятие более характерно. Двухмерные проекции максимально полно отображают любой объект, поэтому мы и рассматриваем их как базовый признак совпадения между многомерными пространствами. Тем не менее, в данном случае трёхмерные проекции четырёхмерных и более объектов заслуживают особого внимания ввиду их ярко выраженной необычности поведения.
Проекции пятимерных объектов в трёхмерном пространстве могут быть кубами даже в том случае, если по двум высшим измерениям (четвертой и пятой) объект не только не является кубом, но может быть вообще фигурой произвольной сложности. Подобный случай можно изобразить схематично в трёхмерной аксонометрии путем группировки равных (по величине) измерений, как это было сделано выше:
Рис.22 Пятимерный клинообразный объект в виде обобщённой трёхмерной проекции (все трёхмерные проекции имеют вид куба).
При движении такого пятимерного объекта по любой из высших координат в трёхмерном пространстве будут возникать и исчезать трёхмерные кубы различной величины и с различными свойствами. Эти свойства определяются свойствами объекта в целом. Например, по одной из координат m – объект имеет различную плотность, а по другой k – различный вещественный состав. Для наблюдателя трёхмерного пространства будет происходить явление, не поддающееся логическому описанию с физической точки зрения: куб может запросто превратиться из свинцового в золотой, будто на него воздействовали философским камнем. Однако, камень здесь ни при чём. При движении по высшим координатам, трёхмерная проекция куба каждый раз оказывается в различных областях этого объекта, а на трёхмерный куб проецируется именно эта область – со всеми своими свойствами.
Всё изложенное позволяет свести наборы пространственных координат к своеобразной схематичной иерархии – аналогии с привычными окружающими нас объектами (рис.23). В роли нульмерного пространства а) в реальном мире мы можем рассматривать как точку, так и с долей условности любой мелкий объект – шарик, зёрнышко и так далее. С одномерным пространством б) можно ассоциировать любой протяжённый тонкий предмет – струну, лыжную палку и прочее. Все плоские двухмерные объекты в) – это картины, чертежи, плакаты, которые мы условно изобразим в виде кадра киноленты. Примеров трёхмерных пространств г) ещё больше: это, по существу, все окружающие нас предметы.
Рис.23 Ассоциативное представление последовательности пространств различной мерности.
Однако, для общности дальнейшего изложения трёхмерные пространства г) на рисунке мы изобразим как и двухмерные пространства – в виде аксонометрий (3D – объектов), запечатлённых на кадре киноленты. В этом случае сама кинолента может уже рассматриваться как четырёхмерное пространство д). Каждый кадр такой киноленты является отдельной трёхмерной проекцией г). Чем чаще кадры фиксируют окружающую действительность, тем более точно они изображают четырёхмерное пространство. Понятно, что перемещение по четвёртой координате пространства соответствует движению киноленты в киноаппарате. Причём мы свободны в нашем выборе: можно ленту двигать быстрее, можно медленнее, можно вообще её остановить и даже прокрутить в обратную сторону. В таком смысле время в качестве четвёртой координаты не даёт нам практически никакого выбора.
Если кинолента может быть ассоциирована с четырёхмерным пространством, то набор кинолент, шкаф с кинолентами е) можно ассоциировать с пятой координатой. Разумеется, при такой аналогии все координаты являются дискретными и связь между различными состояниями объекта прерывистая, не плавная.
В качестве следующей ассоциации – шестимерного пространства – можно привести склад с шкафами кинолент ж).
Можно было бы продолжить аналогии многомерных пространств, но ничего нового это уже не даст. Более того, уже на этом этапе видна любопытная закономерность. Если мы предположим, что многомерные пространства существуют в реальности, хотя и в более сложном, непрерывном, монолитном виде, то здравый смысл и логика сразу же зададутся вопросом: а почему мы, собственно говоря, не наблюдаем в повседневной жизни никаких из описанных свойств таких многомерных пространств? Ведь если они действительно существуют, то эти необъяснимые явления должны себя хоть как-то проявлять. Или всё же какие-то из загадочных явлений мы можем отнести к проявлениями движения четырёхмерных объектов через наше трёхмерное пространство? Что можно сказать, например, об НЛО? Или о загадочных кругах и других фигурах, образованных утрамбованными стеблями трав на полях и лугах? А неопознанные плавающие объекты – НПО – светящиеся и вращающиеся фигуры на морской поверхности («дьявольская карусель»)? Это ли не явное проявление четырёхмерной проекции? Или, наконец, весьма «ощутимое» хорошо известное явление – шаровая молния?
Вряд ли можно на эти вопросы ответить утвердительно. Конечно, один из основных признаков описанных явлений, казалось бы, совпадает с характерным признаком четырёхмерного объекта, спроецированного на трёхмерное пространство – появление его из ничего и такое же загадочное исчезновение. Однако, этот признак в целом для объектов не так уж и значителен, да и не надёжен – всегда можно привести более реалистичные причины возникновения и исчезновения. Существеннее другое – быстрое перемещение в пространстве, вращение, явная зависимость от среды, где явление отображается, что совсем не свидетельствует в пользу четырёхмерности. Если это и проекция четырёхмерного объекта, то он находится в весьма сложном движении в своём четырёхмерном пространстве, причём движется главным образом по трём воспринимаемым нами пространственным координатам. Другими словами, объяснение загадочных явлений четырёхмерностью пространства слишком искусственно, не убедительно. Следовательно, вряд ли разумно принимать реальность наличия четвёртой пространственной координаты.
Пространства большей мерности, в прямом понимании пространственности координат, выглядят ещё менее убедительно.