О функции f определенной на множестве r известно что f x
О функции f определенной на множестве r известно что f x
По многочисленным)) просьбам участников группы задаю ещё одну задачку: доказать, что неубывающее отображение отрезка в себя имеет неподвижную точку (другими словами: для всякой неубывающей функции
f:[0,1] —> [0,1]
существует такое число x из [0,1], что f(x)=x).
Комментарий: эту задачку можно решить совсем просто средствами стандартного матанализа 1-го семестра. Но у неё же есть (на мой взгляд, очень красивое!) решение, использующее трансфинитную индукцию. За решение «первого типа» обещаю студенту 5 баллов по дискретной математике (или алгебре в случае первокурсника), за решение с трансфинитной индукцией — 10. 
Здравствуйте, Андрей Юрьевич,
Здравствуйте, Занг! Конечно, существует немонотонная функция, имеющая неподвижную точку!! Конечно же, ВСЯКАЯ _непрерывная_ функция из отрезка в себя имеет неподвижную точку (это так называемая теорема Брауэра, которую для отрезка легко доказать ссылкой на теорему Больцано-Коши).
Но НАША задача не в этом. Наша задача в том, чтобы доказать, что для существования неподвижной точки ДОСТАТОЧНО (но, конечно, не необходимо), чтобы функция была неубывающей. При этом, она, конечно, может не быть непрерывной (иначе задачка становится совсем не интересной).
Итак, надо доказать, что всякая неубывающая функция из отрезка в себя обязательно имеет неподвижную точку. (А обратное утверждение, конечно, неверно, тут Вы правы :-))