Открытые Кеплером три закона движения планет полностью и с превосходной точностью объяснили видимую неравномерность этих движений. Вместо многочисленных надуманных эпициклов модель Кеплера включает только одну кривую — эллипс. Второй закон установил, как меняется скорость планеты при удалении или приближении к Солнцу, а третий позволяет рассчитать эту скорость и период обращения вокруг Солнца.
Законы динамики планет, открытые Кеплером, послужили позже Ньютону основой для создания теории тяготения. Ньютон математически доказал, что все законы Кеплера являются следствиями закона тяготения.
Строго говоря, система мира Кеплера претендовала не только на выявление законов движения планет, но и на гораздо большее. Аналогично пифагорейцам, Кеплер считал мир реализацией некоторой числовой гармонии, одновременно геометрической и музыкальной; раскрытие структуры этой гармонии дало бы ответы на самые глубокие вопросы.
Например, Кеплер объясняет, почему планет именно шесть и они размещены в пространстве так, а не как-либо иначе: оказывается, орбиты планет вписаны в правильные многогранники.
Интересно, что исходя из этих ненаучных соображений, Кеплер предсказал существование двух спутников Марса и промежуточной планеты между Марсом и Юпитером.
Мистическая форма системы Кеплера основательно засоряла реальную суть его великих открытий. Тем не менее, уже современники Кеплера, отделив зерна от шелухи, убедились в точности открытых им законов, хотя их глубинный смысл до Ньютона оставался непонятным. Никаких попыток реанимировать Птолемея или предложить иную систему движения, кроме гелиоцентрической, больше не предпринималось.
Через год после смерти Кеплера Гассенди наблюдал предсказанное им прохождение Меркурия по диску Солнца.
Кеплер стал автором первого учебника по коперниканской астрономии (1622), который немедленно удостоился чести попасть в «Индекс запрещённых книг».
Летом 1627 года Кеплер после 22 лет трудов опубликовал астрономические таблицы, которые в честь императора назвал «Рудольфовыми». Спрос на них был огромен, так как прежние таблицы давно разошлись с наблюдениями. Кеплеровы таблицы служили астрономам и морякам вплоть до начала XIX века.
Ньютон математически доказал что законы движения планет кеплера являются прямыми следствиями закона
Закон всемирного тяготения. Напомним известную из курса физики формулировку закона всемирного тяготения: все тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой прямо пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними.
Закон всемирного тяготения записывается в виде:
(16)
Из физики вы знаете, что гравитация — общее свойство всех тел в природе. Исключительно важную роль она играет в мире небесных тел; ею объясняются не только почти все движения, но и многие процессы, связанные с образованием и развитием небесных тел. Если законы Кеплера отвечают на вопрос, по каким траекториям движутся небесные тела, то закон всемирного тяготения отвечает на вопрос, какая сила удерживает планеты около Солнца, спутники около планет и т. д.
Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн были известнылюдям с глубокой древности. Мысль о том, что наша Земля — тоже планета Солнечной системы, впервые была научно обоснована Н. Коперником. Планету, находящуюся за орбитой Сатурна и не видимую невооруженным глазом, открыл в1781 г. с помощью телескопа английский астроном (профессиональный музыкант, который начал заниматься астрономией как любитель)Уильям Гершель (1738— 1822). Она была названа Ураном. Основываясь на законах небесной механики, астрономы вычислили орбиту Урана, но довольно скоро выяснилось, что в движении новой планеты заметны отклонения от кеплеровской орбиты. Наблюдаемые отклонения могли означать либо то, что действие закона всемирного тяготения ограничено лишь близкими планетами, либо то, что за Ураном есть еще какая-нибудь планета, возмущающая его движение. Сделав именно это, второе предположение, астрономы решили попытаться открыть новую планету, вычислив ее положение в пространстве. Независимо друг от друга такую задачу удалось решить двум молодым математикам — англичанину Джону Адамсу (1819—1892) и французуУрбену Леверье (1811—1877). Астроном Берлинской обсерватории Иоганн Галле (1812— 1910), получив телеграмму от Леверье с просьбой поискать планету в указанном месте, 23 сентября1846 г. обнаружил в созвездии Водолея светило, которого не было на звездной карте. Так была открыта восьмая планета Солнечной системы, названная Нептуном. Это был триумф небесной механики, торжество гелиоцентрической системы. Девятую планету Солнечной системы — Плутон — удалось открыть лишь в1930 г.
3. Законы Кеплера в формулировке Ньютона. Как вы уже знаете, Кеплер открыл свои законы эмпирическим путем. Ньютон вывел законы Кеплера из закона всемирного тяготения. Он доказал, что под действием силы тяготения одно небесное тело может двигаться по отношению к другому по окружности, эллипсу, параболе и гиперболе. В этом заключается первый обобщенный Ньютоном закон Кеплера. Он имеет универсальный характер и справедлив для любых тел, между которыми действует взаимное тяготение. Ему подчиняется и движение искусственных небесных тел. Напомним, что форма орбиты зависит от модуля и направления начальной скорости (рис. 23).
Рис. 23. Зависимость формы орбиты искусственного небесного тела от начальной скорости υо.
Орбиты при различных начальных скоростях (векторы скоростей во всех случаях направлены горизонтально, т.е. перпендикулярно радиусу Земли): 1 — круговая (υо=7,9 км/с); 2,3,4 — эллиптические (υо соответственно равны 10,0 км/с, 11,0 км/с, 11,1 км/с); 5 — параболическая (υо≈11,2 км/с); 6 — гипер-болическая (υо≈12,0 км/с).
Формулировка второго закона Кеплера не потребовала обобщения.
Для определения масс небесных тел важное значение имеет обобщение Ньютоном третьего закона Кеплера на любые системы обращающихся тел. Если, в частности, массивным (центральным) телом является Солнце, то для него и двух движущихся вокруг него планет третий закон Кеплера будет иметь вид:
(17)
т. е. квадраты сидерических периодов планет (и), умноженные на сумму масс Солнца и планеты (и ), относятся как кубы больших полуосей орбит планет (и).
Можно применить третий закон Кеплера и к другим системам, например к движению планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты. Обозначим массы Солнца, планеты и ее спутника соответственно через , т и m1 периоды обращения планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты — через T и Т1и, наконец, средние расстояния планеты от Солнца и спутника от планеты — через а и ахТогда третий закон Кеплера можно записать в виде:
Масса Солнца во много раз больше массы любой из планет, т. е. »т. Масса планеты обычно также очень велика по сравнению с массой спутника (исключение составляют Земля и Луна, а также Плутон с его спутником Хароном), т. е. т»m1. Поэтому с достаточной степенью точности можно вычислить отношение массы Солнца к массе планеты по формуле:
(18)
Формула (18) была получена из рассмотрения движения планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты. Аналогичный вид будет иметь формула для определения массы планеты (имеющей спутника!), если эту систему небесных тел сравнить с другой планетой и ее спутником:
(18′)
где и — соответственно массы сравниваемых планет; и — периоды обращения спутников планет; а’ и — средние расстояния между спутниками планет ипланетами.
Пример. Вычислить массу Юпитера, зная, что один из его спутников (Ио) совершает оборот вокруг планеты за 1,77 сут на расстоянии 422 тыс. км от Юпитера.
Для решения задачи сравним обращение Ио вокруг Юпитера с обращением Луны вокруг Земли. Массу Земли примем за единицу (т. е. = = 1), период обращения Луны 27,32 сут ( = 27,32 д — такое обозначение для суток принято в астрономии), а среднее расстояние Луны от Земли — 384 тыс. км.
Законы кеплера.ppt
Физические условия на Луне. Луна практически лишена атмосферы. Если допустить, что в прошлом у Луны была атмосфера, то легко понять, почему ее нет сейчас. Дело в том, что сравнительно небольшие (по массе) небесные тела (подобные Луне) не могут длительное время удерживать атмосферу. Уже при скорости 2,38 км/с (вторая космическая скорость для Луны) молекулы газа способны покинуть Луну.
На поверхности Луны нет воды. Испарение воды образовало бы вокруг Луны газовую оболочку, которая быстро бы рассеялась. Однако, в конце 90-х гг. в результате полетов АМС «Клементина» было сделано предположение о том, что под поверхностным слоем пород некоторых кратеров существуют немалые запасы льда.
На небе Луны видны те же самые созвездия, что и на небе Земли. Из-за отсутствия атмосферы яркие звезды и планеты видны на Луне и днем. Поэтому космонавты могут ориентироваться на Луне по звездам и днем и ночью. Ориентировка по звездам приобретает на Луне особое значение, так как там магнитный компас бесполезен. (Луна не имеет магнитного поля, подобного земному.)
Меркурий и Венеру можно наблюдать с Луны даже в непосредственной близости от Солнца. Эффектное украшение неба Луны — наша Земля (рис. 31). Диск Земли примерно в 3,5 раза больше солнечного диска.
Рис. 31. Земля на небе Луны.
На протяжении лунного дня, длящегося около двух земных недель, поверхность Луны сильно нагревается, а затем охлаждается в ночное время (ночь на Луне тоже длится почти две земные недели). Отсутствие атмосферы на Луне приводит к резким колебаниям температуры в течение лунных суток. В районе «подсолнечной» точки, т. е. там, где Солнце днем находится в зените, температура превышает 400 К (+130 °С). На противоположной стороне Луны вблизи «антисолнечной» точки поверхность Луны охлаждается почти до 100 К (-170 °С). Значит, на протяжении одних лунных суток (29,5 земных суток) температура изменяется на 300 К. Резкие колебания температуры, происходящие на Луне, относятся только к ее поверхности. Уже на глубине в несколько десятков сантиметров температура в течение лунных суток практически не изменяется. Это объясняется плохой теплопроводностью лунного грунта, который не успевает ни прогреться днем, ни охладиться ночью.
Вы знаете, что Луна сейчас обращена к Земле одной стороной. Так было не всегда. Миллиарды лет назад Луна была ближе к Земле, чем сейчас, а периоды вращения Земли и обращения вокруг нее Луны составляли лишь несколько часов. На нынешнем этапе эволюции системы «Земля — Луна» период вращения Луны совпал с периодом ее обращения. Это привело к двум важным следствиям. Во-первых, продолжительность солнечных суток на Луне равна синодическому месяцу (день и ночь на Луне длятся почти по две земные недели). Во-вторых, к Земле Луна всегда обращена одним полушарием (мы с Земли видим всегда одну и ту же сторону Луны).
Рис. 32. Видимая с Земли сторона Луны (вид в телескоп).
Поверхность Луны. Даже невооруженным глазом на Луне видны обширные темные участки ( моря ) и светлые ( материки ). Более подробно их можно рассмотреть в школьный телескоп (рис. 32). Несмотря на то, что в лунных морях нет ни капли воды, в науке сохранилась прежняя система наименований, предложенная еще в XVII в. В отличие от морей (сравнительно ровных участков лунной поверхности, покрытых темным веществом), материки представляют собой гористые районы.
На обращенной к Земле стороне Луны материки занимают около 70%, а моря — 30% территории видимого с Земли полушария Луны.
Рис. 33. Вид кратеров в школьный телескоп.
В отличие от продолжающихся несколько столетий телескопических исследований видимой стороны Луны, исследование обратной ее стороны началось, когда впервые в истории науки обратная сторона Луны была сфотографирована автоматической станцией «Луна-3» 7 октября1959 г. Примерно через 6 лет (июль1965 г.) другая наша автоматическая межпланетная станция (АМС) «Зонд-3», выведенная на гелиоцентрическую орбиту, передала новые фотографии. При этом удалось сфотографировать почти все области обратной стороны Луны, которые не попали в поле зрения фототелевизионных устройств «Луны-3». Полученные снимки позволили составить карты и атласы обратной стороны Луны, лунные глобусы и полные карты, охватывающие почти всю поверхность Луны.
На невидимом с Земли полушарии Луны преобладают материки. Средний диаметр крупного моря — Моря Москвы — достигает460 км. Много на обратной стороне Луны и кратеров (им присвоены имена выдающихся деятелей науки — Ломоносов, Джордано Бруно, Циолковский, Жолио-Кюри и др.) Нередко кратеры образуют длинные цепочки, тянущиеся на сотни километров. Там находится и самый большой кратер. Его диаметр около 2500 км(!), а глубина12 км. Скорее всего, это самый большой кратер в Солнечной системе.
Лунные породы. Благодаря мягким посадкам автоматических станций на Луну, а затем и полетам на Луну американскихастронавтов стали известны механические свойства лунного грунта и его химический состав. На Луне не оказалось толстого слоя пыли, которого когда-то опасались многие конструкторы лунников, но пыль на Луне есть. Она темно-серого цвета и по внешнему виду напоминает цемент.
В поверхностном слое Луны ( реголите ) содержатся осколки магматических пород, шлакообразные частицы с оплавленными гранями. Многие образцы как бы обработаны песком. Их вид свидетельствует о том, что они длительное время подвергались своеобразной эрозии (ударам мелких метеоритов и обработке потоками частиц, непрерывно исходящими от Солнца).
Из-за отсутствия воды минералов на Луне значительно меньше, чем на Земле. Микроорганизмов на Луне не обнаружено.
Лунные породы относятся к очень древним — их возраст составляет примерно 4 млрд. лет, причем самыми «молодыми» (несколько более 3 млрд. лет) оказались образцы, доставленные из морских районов. На Луне давно завершилась эпоха активного вулканизма. С течением времени уменьшалась и интенсивность метеоритной бомбардировки лунной поверхности. Благодаря этому на протяжении последних 2—3 млрд. лет вид Луны практически не изменялся. А на Земле, как вы знаете из курса географии, под воздействием воды и воздуха древний рельеф не мог сохраниться. Сравнение лунного и современного земного рельефа помогает воссоздать условия, в которых на Земле формировались запасы полезных ископаемых. Это необходимо знать для разработки научных основ поиска полезных ископаемых.
Еще и сейчас происходят лунотрясения (напоминающие слабые землетрясения). Они зарегистрированы сейсмографами, установленными на Луне астронавтами. Данные этих приборов позволили исследовать внутреннее строение Луны, выделив кору (толщиной около 60 км), мантию (до 1000 км) и ядро (его радиус около750 км).
Два величайших ученых намного обогнавшие свое время, они создали науку, которая называется небесной механикой, то есть открыли законы движения небесных тел под действием сил тяготения, и даже если бы этим их достижения ограничились, они все равно бы вошли в пантеон великих мира сего. Так случилось, что они не пересеклись во времени. Только через тринадцать лет после смерти Кеплера родился Ньютон. Оба они являлись сторонниками гелиоцентрической системы Коперника. Много лет изучая движение Марса, Кеплер экспериментально открывает три закона движения планет, за пятьдесят с лишним лет до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Еще не понимая, почему планеты движутся так, а не иначе. Это был каторжный труд и гениальное предвидение. Зато Ньютон именно законами Кеплера проверял свой закон тяготения. Все три закона Кеплера являются следствиями закона тяготения. И открыл его Ньютон в 23 года. В это время 1664 – 1667 годы в Лондоне свирепствовала чума. Тринити колледж, в котором преподавал Ньютон, был распущен на неопределенный срок, дабы не усугубить эпидемию. Ньютон возвращается к себе на родину и за два года совершает переворот в науке, сделав три важнейших открытия: дифференциальное и интегральное исчисление, объяснение природы света и закон всемирного тяготения. Исаак Ньютон был торжественно похоронен в Вестминстерском аббатстве. Над его могилой высится памятник с бюстом и эпитафией «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, который почти божественным разумом первый доказал с факелом математики в руке движение планет, пути комет и приливы океанов… Пусть смертные радуются, что существует такое украшение рода человеческого».
Заслуга открытия законов движения планет принадлежит выдающемуся немецкому учёному, астроному и математику, Иоганну Кеплеру (1571 – 1630 гг.)– человеку большого мужества и необыкновенной любви к науке.
Он проявил себя ревностным сторонником системы мира Коперника и задался целью уточнить строение Солнечной системы. Тогда это означало: познать законы движения планет, или, как он выразился, «проследить замысел Бога при cотворении мира» [1]. В начале XVII в. Кеплер, изучая обращение Марса вокруг Солнца, установил три закона движения планет.
Первый закон Кеплера:Каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Под действием силы притяжения одно небесное тело движется в поле тяготения другого небесного тела по одному из конических сечений – кругу, эллипсу, параболе или гиперболе. [2 ]
Эллипсом называется плоская замкнутая кривая, имеющая такое свойство, что сумма расстояний каждой её точки от двух точек, называемых фокусами, остаётся постоянной. Эта сумма расстояний равна длине большой оси эллипса. Точка О – центр эллипса, F1 и F2 – фокусы. Солнце находится в данном случае в фокусе F1.
Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, самая далёкая – афелием. Линия, соединяющая какую-либо точку эллипса с фокусом, называется радиус-вектором. Отношение расстояния между фокусами к большой оси (к наибольшему диаметру) называется эксцентриситетом е. эллипс тем сильнее вытянут, чем больше его эксцентриситет. Большая полуось эллипса а – среднее расстояние планеты до Солнца.
По эллиптическим орбитам движутся и кометы и астероиды. У окружности е = 0, у эллипса 0 1.
Орбиты планет – эллипсы, мало отличаются от окружностей; их эксцентриситеты малы. Например, эксцентриситет орбиты Земли е = 0,017.
Второй закон Кеплера:Радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади (определяет скорость движения планеты по орбите). Скорость планеты тем больше, чем она ближе к Солнцу. [1]
Планета проходит путь от точки А до А1 и от В до В1 за одно и то же время. Другими словами, планета движется быстрее всего в перигелии, а медленнее всего – когда находится на наибольшем удалении (в афелии). Так, скорость кометы Галлея в перигелии равна 55 км/с, а в афелии 0,9 км/с.
Самый близкий к Солнцу Меркурий обегает вокруг светила за 88 дней. За ним движется Венера, и год на ней длится 225 земных суток. Земля обращается вокруг Солнца за 365 суток, то есть ровно за один год. Марсианский год почти в два раза продолжительнее земного. Юпитерский год равен почти 12 земным годам, а далёкий Сатурн обходит свою орбиту за 29,5 лет! Словом, чем дальше планета от Солнца, тем продолжительнее на планете год. И Кеплер пытался найти зависимость между размерами орбит различных планет и временем их обращения вокруг Солнца.
15 мая 1618 года после множества неудачных попыток Кеплер установил наконец очень важное соотношение, известное как
Третий закон Кеплера:Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний от Солнца. [1]
Т 2 м / Т 2 з = а 3 м / а 3 з.
Но ведь период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году (Тз = 1), а среднее расстояние Земля – Солнце принято за одну астрономическую единицу (аз = 1 а.е.). Тогда данное равенство примет более простой вид:
Период обращения планеты (в нашем примере Марса) можно определить из наблюдений. Он составляет 687 земных суток, или 1,881 года. Зная это, нетрудно вычислить среднее расстояние планеты от Солнца в астрономических единицах:
Т.е. Марс находится в среднем в 1,524 раза дальше от Солнца, чем наша Земля. Следовательно, если известно время обращения какой-нибудь планеты, то по нему можно найти её среднее расстояние от Солнца. Таким путём Кеплеру удалось определить расстояния всех известных в ту пору планет:
Только это были относительные расстояния – числа, показывающие, во сколько раз та или иная планета дальше от Солнца или ближе к Солнцу, чем Земля. Истинные значения этих расстояний, выраженные в земных мерах (в км), оставались неизвестными, ибо ещё не была известна длина астрономической единицы – среднего расстояния Земли от Солнца.
Третий закон Кеплера связал в единую стройную систему всё солнечное семейство. На поиски ушло девять трудных лет. Победило упорство учёного!
Вывод: законы Кеплера теоретически развивали гелиоцентрическое учение и тем самым укрепляли позиции новой астрономии. Астрономия Коперника – самое мудрое из всех произведений человеческого ума. [1]
Последующие наблюдения показали, что законы Кеплера применимы не только для планет Солнечной системы и их спутников, но и для звёзд, физически связанных между собой и обращающихся вокруг общего центра масс. Они легли в основу практической космонавтики, ибо по законам Кеплера движутся все искусственные небесные тела, начиная с первого советского спутника и кончая современными космическими аппаратами. Не случайно в истории астрономии Иоганна Кеплера называют «законодателем неба».
(16)
(17)
и 
), умноженные на сумму масс Солнца и планеты ( 
и 
), относятся как кубы больших полуосей орбит планет ( 
и 
).
, т и m 1 периоды обращения планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты — через T и Т1 и, наконец, средние расстояния планеты от Солнца и спутника от планеты — через а и ах Тогда третий закон Кеплера можно записать в виде:
» т. Масса планеты обычно также очень велика по сравнению с массой спутника (исключение составляют Земля и Луна, а также Плутон с его спутником Хароном), т. е. т » m 1 . Поэтому с достаточной степенью точности можно вычислить отношение массы Солнца к массе планеты по формуле:
(18)
(18′)
и 
— соответственно массы сравниваемых планет; 
и 
— периоды обращения спутников планет; а’ и 
— средние расстояния между спутниками планет ипланетами.
примем за единицу (т. е. 
= 
= 1), период обращения Луны 27,32 сут ( 
= 27,32 д — такое обозначение для суток принято в астрономии), а среднее расстояние Луны от Земли 
— 384 тыс. км.
