Нормальное распределение на графике распределения частот означает что

Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Нормальное распределение: теория и практика

Вероятность встретить в выборке те или иные значение равна площади фигуры под кривой и в случае нормального распределения мы видим, что под верхом «колокола», которому соответствуют значения, стремящиеся к среднему, площадь, а значит, вероятность, больше, чем под краями. Таким образом, получаем то же, что уже сказано: вероятность встретить человека «нормального» роста, поймать рыбу «нормальной» массы выше, чем для значений, отличающихся в бОльшую или меньшую сторону. В очень многих случаях практики ошибки измерения распределяются по закону, близкому к нормальному.

Если копнуть глубже, то нормальное распределение можно найти в распределении многих показателях в системах связи (сигналы, шумы, помехи и другие), под нормальное распределение подгоняют многие финансовые показатели. Хотя следует подчеркнуть, что именно подгоняют, поскольку признаки нормальности в этих случаях часто бывают смещены.

Остановимся ещё раз на рисунке в начале урока, на котором представлена функция плотности нормального распределения. График этой функции получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA. На ней столбцы гистограммы представляют собой интервалы значений выборки, распределение которых близко (или, как принято говорить в статистике, незначимо отличаются от) к собственно графику функции плотности нормального распределения, который представляет собой кривую красного цвета. На графике видно, что эта кривая действительно колоколообразная.

Нормальное распределение во многом ценно благодаря тому, что зная только математическое ожидание непрерывной случайной величины и стандартное отклонение, можно вычислить любую вероятность, связанную с этой величиной.

Что влияет на график плотности нормального распределения

Чуть далее мы разберем довольно ужасную на первый взгляд формулу функции плотности нормального распределения. А пока остановимся на важнейших параметрах, связанных с этой формулой, которые влияют на вид графика плотности нормального распределения.

Коэффициент асимметрии (β 1 ). Если он равен нулю, то график плотности нормального распределения симметричен относительно среднего. Если он отличен от нуля, то распределение случайной величины несимметрично, причем, если коэффициент положителен, то правый хвост длиннее, а если отрицателен, то длиннее левый хвост. Это показано на графике снизу.

Коэффициент эксцесса (β 2 ). Характеризует остроту вершины графика плотности нормального распределения. Чем больше значение коэффициента, тем острее вершина. Это показано на графике снизу.

Подробнее о функции плотности нормального распределения

Функцию плотности нормального распределения непрерывной случайной величины можно найти по формуле:

,

Свойства функции плотности нормального распределения

Повторим знания о графиках функции плотности. Изменения среднего значения перемещают кривую функции плотности нормального распределения в направлении оси Ox. Если возрастает, кривая перемещается вправо, если уменьшается, то влево.

Вероятность попадания значения нормально распределённой случайной величины в заданный интервал

Интегральная функция нормального распределения:

.

Однако проблематично получить таблицы для каждой возможной комбинации среднего и стандартного отклонения. Поэтому одним из простых способов вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал является использование таблиц вероятностей для стандартизированного нормального распределения.

Стандартизованным или нормированным называется нормальное распределение, среднее значение которого , а стандартное отклонение .

Функция плотности стандартизованного нормального распределения:

.

Интегральная функция стандартизованного нормального распределения:

.

На рисунке ниже представлена интегральная функция стандартизованного нормального распределения, график которой получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA. Собственно график представляет собой кривую красного цвета, а значения выборки приближаются к нему.

Для увеличения рисунка можно щёлкнуть по нему левой кнопкой мыши.

Стандартизация случайной величины означает переход от первоначальных единиц, используемых в задании, к стандартизованным единицам. Стандартизация выполняется по формуле

.

На практике все возможные значения случайной величины часто не известны, поэтому значения среднего и стандартного отклонения точно определить нельзя. Их заменяют средним арифметическим наблюдений и стандартным отклонением s. Величина z выражает отклонения значений случайной величины от среднего арифметического при измерении стандартных отклонений.

Открытый интервал

Таблица вероятностей для стандартизированного нормального распределения, которая есть практически в любой книге по статистике, содержит вероятности того, что имеющая стандартное нормальное распределение случайная величина Z примет значение меньше некоторого числа z. То есть попадёт в открытый интервал от минус бесконечности до z. Например, вероятность того, что величина Z меньше 1,5, равна 0,93319.

Пример 1. Предприятие производит детали, срок службы которых нормально распределён со средним значением 1000 и стандартным отклонением 200 часов.

Для случайно отобранной детали вычислить вероятность того, что её срок службы будет не менее 900 часов.

Решение. Введём первое обозначение:

— искомая вероятность.

Значения случайной величины находятся в открытом интервале. Но мы умеем вычислять вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного, а по условию задачи требуется найти равное или большее заданного. Это другая часть пространства под кривой плотности нормального распределения (колокола). Поэтому, чтобы найти искомую вероятность, нужно из единицы вычесть упомянутую вероятность того, что случайная величина примет значение, меньше заданного 900:

Теперь случайную величину нужно стандартизировать.

Продолжаем вводить обозначения:

По этим данным условия задачи получаем:

.

По таблицам стандартизированной случайной величине (границе интервала) z = −0,5 соответствует вероятность 0,30854. Вычтем ее из единицы и получим то, что требуется в условии задачи:

.

Итак, вероятность того, что срок службы детали будет не менее 900 часов, составляет 69%.

Пример 2. В некотором городе среднегодовой доход семьи является нормально распределённой случайной величиной со средним значением 300000 и стандартным отклонением 50000. Известно, что доходы 40 % семей меньше величины A. Найти величину A.

Чтобы найти величину A, сначала составим интегральную функцию:

.

Поэтому составляем равенство

и находим его решение:

Ответ: доходы 40 % семей менее 287300.

Закрытый интервал

Подсказка: в этой задаче помимо нахождения вероятности попадания случайной величины в закрытый интервал (вероятность получения небракованной детали) требуется выполнить ещё одно действие.

Приближенный метод проверки нормальности распределения

Приближенный метод проверки нормальности распределения значений выборки основан на следующем свойстве нормального распределения: коэффициент асимметрии β 1 и коэффициент эксцесса β 2 равны нулю.

Коэффициент асимметрии β 1 численно характеризует симметрию эмпирического распределения относительно среднего. Если коэффициент асимметрии равен нулю, то среднее арифметрического значение, медиана и мода равны: и кривая плотности распределения симметрична относительно среднего. Если коэффициент асимметрии меньше нуля ( β 1 ), то среднее арифметическое меньше медианы, а медиана, в свою очередь, меньше моды () и кривая сдвинута вправо (по сравнению с нормальным распределением). Если коэффициент асимметрии больше нуля ( β 1 > 0 ), то среднее арифметическое больше медианы, а медиана, в свою очередь, больше моды () и кривая сдвинута влево (по сравнению с нормальным распределением).

Коэффициент эксцесса β 2 характеризует концентрацию эмпирического распределения вокруг арифметического среднего в направлении оси Oy и степень островершинности кривой плотности распределения. Если коэффициент эксцесса больше нуля, то кривая более вытянута (по сравнению с нормальным распределением) вдоль оси Oy (график более островершинный). Если коэффициент эксцесса меньше нуля, то кривая более сплющена (по сравнению с нормальным распределением) вдоль оси Oy (график более туповершинный).

Коэффициент асимметрии можно вычислить с помощью функции MS Excel СКОС. Если вы проверяете один массив данных, то требуется ввести диапазон данных в одно окошко «Число».

Коэффициент эксцесса можно вычислить с помощью функции MS Excel ЭКСЦЕСС. При проверке одного массива данных также достаточно ввести диапазон данных в одно окошко «Число».

Для коэффициента асимметрии β 1 :

,

— квантиль стандартного нормального распределения уровня ,

Для коэффициента эксцесса β 2 :

,

— квантиль стандартного нормального распределения уровня ,

Нормальное распределение и расчёты в MS Excel

Значения функции плотности f(x) и интегральной функции F(x) нормального распределения можно вычислить при помощи функции MS Excel НОРМ.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

Решим ещё задачи на нормальное распределение

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Решим ещё одну задачу вместе

Пример 6. О случайной величине X известно, что она нормально распределена, а вероятности того, что она составит 10 или меньше и больше 25, соответственно и . Найти среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и её дисперсию.

Решение. Используем данные в условии задачи вероятности:

Пользуясь статистическими таблицами, находим:

Составляем систему из полученных равенств:

Решая систему, находим:

.

Источник

Нормальное распределение (Гаусса) в Excel

В статье подробно показано, что такое нормальный закон распределения случайной величины и как им пользоваться при решении практически задач.

Нормальное распределение в статистике

История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию биномиального распределения еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.

Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.

Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b. Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.

Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.

График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая. У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.

Формула нормального распределения (плотности) следующая.

Формула состоит из двух математических констант:

е – основание натурального логарифма 2,718;

двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:

m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);

ну и сама переменная x, для которой высчитывается плотность вероятности.

Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии ( σ 2 ). Кратко обозначается N(m, σ 2 ) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ 2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.

А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.

Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.

Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:

Используя математические свойства любого непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как

P(a ≤ X 0 =1 и остается рассчитать только соотношение 1 на корень из 2 пи.

Таким образом, по графику хорошо видно, что значения, имеющие маленькие отклонения от средней, выпадают чаще других, а те, которые сильно отдалены от центра, встречаются значительно реже. Шкала оси абсцисс измеряется в стандартных отклонениях, что позволяет отвязаться от единиц измерения и получить универсальную структуру нормального распределения. Кривая Гаусса для нормированных данных отлично демонстрирует и другие свойства нормального распределения. Например, что оно является симметричным относительно оси ординат. В пределах ±1σ от средней арифметической сконцентрирована большая часть всех значений (прикидываем пока на глазок). В пределах ±2σ находятся большинство данных. В пределах ±3σ находятся почти все данные. Последнее свойство широко известно под названием правило трех сигм для нормального распределения.

Функция стандартного нормального распределения позволяет рассчитывать вероятности.

Понятное дело, вручную никто не считает. Все подсчитано и размещено в специальных таблицах, которые есть в конце любого учебника по статистике.

Таблица нормального распределения

Таблицы нормального распределения встречаются двух типов:

— таблица плотности;

— таблица функции (интеграла от плотности).

Таблица плотности используется редко. Тем не менее, посмотрим, как она выглядит. Допустим, нужно получить плотность для z = 1, т.е. плотность значения, отстоящего от матожидания на 1 сигму. Ниже показан кусок таблицы.

В зависимости от организации данных ищем нужное значение по названию столбца и строки. В нашем примере берем строку 1,0 и столбец 0, т.к. сотых долей нет. Искомое значение равно 0,2420 (0 перед 2420 опущен).

Функция Гаусса симметрична относительно оси ординат. Поэтому φ(z)= φ(-z), т.е. плотность для 1 тождественна плотности для -1, что отчетливо видно на рисунке.

Чтобы не тратить зря бумагу, таблицы печатают только для положительных значений.

На практике чаще используют значения функции стандартного нормального распределения, то есть вероятности для различных z.

В таких таблицах также содержатся только положительные значения. Поэтому для понимания и нахождения любых нужных вероятностей следует знать свойства стандартного нормального распределения.

Функция Ф(z) симметрична относительно своего значения 0,5 (а не оси ординат, как плотность). Отсюда справедливо равенство:

Это факт показан на картинке:

Значения функции Ф(-z) и Ф(z) делят график на 3 части. Причем верхняя и нижняя части равны (обозначены галочками). Для того, чтобы дополнить вероятность Ф(z) до 1, достаточно добавить недостающую величину Ф(-z). Получится равенство, указанное чуть выше.

Если нужно отыскать вероятность попадания в интервал (0; z), то есть вероятность отклонения от нуля в положительную сторону до некоторого количества стандартных отклонений, достаточно от значения функции стандартного нормального распределения отнять 0,5:

Для наглядности можно взглянуть на рисунок.

На кривой Гаусса, эта же ситуация выглядит как площадь от центра вправо до z.

Довольно часто аналитика интересует вероятность отклонения в обе стороны от нуля. А так как функция симметрична относительно центра, предыдущую формулу нужно умножить на 2:

Под кривой Гаусса это центральная часть, ограниченная выбранным значением –z слева и z справа.

Указанные свойства следует принять во внимание, т.к. табличные значения редко соответствуют интересующему интервалу.

Для облегчения задачи в учебниках обычно публикуют таблицы для функции вида:

Если нужна вероятность отклонения в обе стороны от нуля, то, как мы только что убедились, табличное значение для данной функции просто умножается на 2.

Теперь посмотрим на конкретные примеры. Ниже показана таблица стандартного нормального распределения. Найдем табличные значения для трех z: 1,64, 1,96 и 3.

Как понять смысл этих чисел? Начнем с z=1,64, для которого табличное значение составляет 0,4495. Проще всего пояснить смысл на рисунке.

То есть вероятность того, что стандартизованная нормально распределенная случайная величина попадет в интервал от 0 до 1,64, равна 0,4495. При решении задач обычно нужно рассчитать вероятность отклонения в обе стороны, поэтому умножим величину 0,4495 на 2 и получим примерно 0,9. Занимаемая площадь под кривой Гаусса показана ниже.

Таким образом, 90% всех нормально распределенных значений попадает в интервал ±1,64σ от средней арифметической. Я не случайно выбрал значение z=1,64, т.к. окрестность вокруг средней арифметической, занимающая 90% всей площади, иногда используется для проверки статистических гипотез и расчета доверительных интервалов. Если проверяемое значение не попадает в обозначенную область, то его наступление маловероятно (всего 10%).

Для проверки гипотез, однако, чаще используется интервал, накрывающий 95% всех значений. Половина вероятности от 0,95 – это 0,4750 (см. второе выделенное в таблице значение).

Для этой вероятности z=1,96. Т.е. в пределах почти ±2σ от средней находится 95% значений. Только 5% выпадают за эти пределы.

Еще одно интересное и часто используемое табличное значение соответствует z=3, оно равно по нашей таблице 0,4986. Умножим на 2 и получим 0,997. Значит, в рамках ±3σ от средней арифметической заключены почти все значения.

Так выглядит правило 3 сигм для нормального распределения на диаграмме.

С помощью статистических таблиц можно получить любую вероятность. Однако этот метод очень медленный, неудобный и сильно устарел. Сегодня все делается на компьютере. Далее переходим к практике расчетов в Excel.

Нормальное распределение в Excel

В Excel есть несколько функций для подсчета вероятностей или обратных значений нормального распределения.

Функция НОРМ.СТ.РАСП

Функция НОРМ.СТ.РАСП предназначена для расчета плотности ϕ( z ) или вероятности Φ(z) по нормированным данным (z).

z – значение стандартизованной переменной

интегральная – если 0, то рассчитывается плотность ϕ( z ) , если 1 – значение функции Ф(z), т.е. вероятность P(Z