Незнайка утверждает что окружность это прямая докажите что он не прав
Незнайка утверждает что окружность это прямая докажите что он не прав
Задача 1: Незнайка утверждает, что он может отметить на плоскости 15 точек таких, что какое бы натуральное число от 1 до 7 ему ни назвали, он сможет указать прямую, на которой лежит ровно столько отмеченных точек. Прав ли Незнайка?
Задача 2: На поле брани встретились армии Толстых и Тонких по 1000 человек в каждой. Сначала каждый Толстый выстрелил в одного из Тонких. Затем каждый уцелевший Тонкий выстрелил в одного из Толстых. Наконец, каждый уцелевший Толстый ещё раз выстрелил в одного из Тонких. После этого у каждой армии кончились патроны. Докажите, что в живых осталось не менее 500 солдат.
Решение: Пусть Тонкие своим единственным залпом убили n Толстых. Тогда вторым залпом Толстые убьют не более 1000 – n Тонких, поэтому за два последних залпа погибнет не более 1000 солдат с той и другой стороны.
Пусть после первого залпа Толстых в живых осталось x Тонких. Возможны два случая:
1) x ≤ 500. Тогда после залпа Тонких у Толстых останется в живых не менее 1000 – x солдат, что не меньше 500, и утверждение в этом случае доказано.
2) x > 500. Тогда после первого залпа Толстых у двух армий в сумме более 1500 живых солдат. Как показано выше, за два последних залпа не может погибнуть более 1000 человек, что и завершает доказательство.
Задача 3: Через точку плоскости проведены 3 прямые, разбивающие плоскость на 6 углов. Известно, что один из образовавшихся углов не превосходит полусуммы наибольшего и наименьшего угла. Докажите, что этот угол не превосходит 60.
Задача 4: Можно ли в вершинах и серединах сторон восьмиугольника расставить натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел на концах каждой стороны равнялась числу в её середине.
ОТВЕТ: Расставить числа требуемым образом нельзя.
Докажите, что Незнайка неправ.
задан 29 Сен 12:08
У меня, вроде, получилось противоречие, но лучше завтра на свежую голову попробовать описать покороче.
3 ответа
Приведу всё-таки решение, хотя не уверен, что оно лучшее в плане краткости. Тут можно очень многими способами рассуждать.
Рассмотрим крайний левый столбец, и обозначим через x, y, z число отмеченных клеток среди 1 и 2 (сверху), 3 и 4, 2 и 3 соответственно. Тогда по принципу из предыдущего абзаца получаем числа z+1, y+1, x+1, z+1, y+1 для количества отмеченных клеток в средней части строк сверху вниз, где под средней частью понимается три клетки строки без учёта двух крайних.
Из условия сразу следует, что x+y+z=2. Отсюда получается три возможных варианта (а с точностью до симметрии, всего два).
Первый: x=0. Тогда клетки 1, 2, 4, 5 первого столбца пусты, и отмечена только 3. Имеем y=z=1. Число отмеченных клеток в средних частях строк здесь равно 2, 2, 1, 2, 2. В этом случае для последнего столбца числа x, y, z такие же, то есть он является копией первого.
Ввиду того, что средняя часть строки имеет только одну отмеченную клетку, в ней не отмечена 2-я или 4-я. Из соображений симметрии можно считать, что имеет место первый из этих случаев. Тогда легко прийти к выводу, что весь второй столбец кроме клетки посередине состоит из отмеченных клеток. Но тогда, беря клетки 3, 4, 5 из средней строки, получаем, что они все заполнены, так как заполнены две «перпендикулярные» им клетки из второго столбца. Это противоречит тому, что в средней части 3-й строки всего одна клетка отмечена.
Интересно было бы увидеть рассуждение покороче.