Неверно что требованием к безопасности асимметричной системы является

Асимметричные криптосистемы шифрования

У. Диффи и М. Хеллман сформулировали требования, выполнение которых обеспечивает безопасность асимметричной криптосистемы.
1. Вычисление пары ключей (К_в, к_в) получателем В должно быть простым.
2. Отправитель А, зная открытый ключ К_в и сообщение М, может легко вычислить криптограмму С=Е_Кв(М).
3. Получатель В, используя секретный ключ к_в и криптограмму С, может легко восстановить исходное сообщение М=О_кя(С).
4. Противник, зная открытый ключ К_в, при попытке вычислить секретный ключ к_в наталкивается на непреодолимую вычислительную проблему.
5. Противник, зная пару (К_в, С), при попытке вычислить исходное сообщение М наталкивается на непреодолимую вычислительную проблему.

Концепция асимметричных криптографических систем с открытым ключом основана на применении однонаправленных функций. Однонаправленной функцией называется функция F(X), обладающая двумя свойствами:
• существует алгоритм вычисления значений функции Y= F(X);
• не существует эффективного алгоритма обращения (инвертирования) функции F (т. е. не существует решения уравнения F(X) = Y относительно X).

В качестве примера однонаправленной функции можно указать целочисленное умножение. Прямая задача — вычисление произведения двух очень больших целых чисел Р и Q, т. е. нахождение значения N = P × Q — относительно несложная задача для компьютера.

Обратная задача — факторизация, или разложение на множители большого целого числа, т. е. нахождение делителей Р и Q большого целого числа N = Р × Q, — является практически неразрешимой при достаточно больших значениях N.

Другой характерный пример однонаправленной функции — это модульная экспонента с фиксированными основанием и модулем.

Как и в случае симметричных криптографических систем, с помощью асимметричных криптосистем обеспечивается не только конфиденциальность, но также подлинность и целостность передаваемой информации. Подлинность и целостность любого сообщения обеспечивается формированием цифровой подписи этого сообщения и отправкой в зашифрованном виде сообщения вместе с цифровой подписью. Проверка соответствия подписи полученному сообщению после его предварительного расшифровывания представляет собой проверку целостности и подлинности принятого сообщения. Процедуры формирования и проверки электронной цифровой подписи рассмотрены в разделе «Электронная цифровая подпись и функция хэширования».

Преимущества асимметричных криптографических систем перед симметричными криптосистемами:
• в асимметричных криптосистемах решена сложная проблема распределения ключей между пользователями, так как каждый пользователь может сгенерировать свою пару ключей сам, а открытые ключи пользователей могут свободно публиковаться и распространяться по сетевым коммуникациям;
• исчезает квадратичная зависимость числа ключей от числа пользователей; в асимметричной криптосистеме число используемых ключей связано с числом абонентов линейной зависимостью (в системе из N пользователей используются 2N ключей), а не квадратичной, как в симметричных системах;
• асимметричные криптосистемы позволяют реализовать протоколы взаимодействия сторон, которые не доверяют друг другу, поскольку при использовании асимметричных криптосистем закрытый ключ должен быть известен только его владельцу.

Недостатки асимметричных криптосистем:

• на настоящий момент нет математического доказательства необратимости используемых в асимметричных алгоритмах функций;
• асимметричное шифрование существенно медленнее симметричного, поскольку при шифровании и расшифровке используются весьма ресурсоемкие операции. По этой же причине реализовать аппаратный шифратор с асимметричным алгоритмом существенно сложнее, чем реализовать аппаратно симметричный алгоритм;
• необходимость защиты открытых ключей от подмены.

Эта статья была опубликована Вторник, 11 августа, 2009 at 16:23 в рубрике Принципы криптографической защиты информации. Вы можете следить за ответами через RSS 2.0 feed.

Источник

Асимметричное шифрование

Асимметричное шифрование — это метод шифрования данных, предполагающий использование двух ключей — открытого и закрытого. Открытый (публичный) ключ применяется для шифрования информации и может передаваться по незащищенным каналам. Закрытый (приватный) ключ применяется для расшифровки данных, зашифрованных открытым ключом. Открытый и закрытый ключи — это очень большие числа, связанные друг с другом определенной функцией, но так, что, зная одно, крайне сложно вычислить второе.

Асимметричное шифрование используется для защиты информации при ее передаче, также на его принципах построена работа электронных подписей.

Принцип действия асимметричного шифрования

Схема передачи данных между двумя субъектами (А и Б) с использованием открытого ключа выглядит следующим образом:

В такой схеме перехват любых данных, передаваемых по незащищенным каналам, не имеет смысла, поскольку восстановить исходную информацию возможно только при помощи закрытого ключа, известного лишь получателю и не требующего передачи.

Применение асимметричных алгоритмов

Асимметричное шифрование решает главную проблему симметричного метода, при котором для кодирования и восстановления данных используется один и тот же ключ. Если передавать этот ключ по незащищенным каналам, его могут перехватить и получить доступ к зашифрованным данным. С другой стороны, асимметричные алгоритмы гораздо медленнее симметричных, поэтому во многих криптосистемах применяются и те и другие.

Например, стандарты SSL и TLS используют асимметричный алгоритм на стадии установки соединения (рукопожатия): с его помощью кодируют и передают ключ от симметричного шифра, которым и пользуются в ходе дальнейшей передачи данных.

Также асимметричные алгоритмы применяются для создания электронных подписей для подтверждения авторства и (или) целостности данных. При этом подпись генерируется с помощью закрытого ключа, а проверяется с помощью открытого.

Асимметричные алгоритмы

Наиболее распространенные алгоритмы асимметричного шифрования:

Надежность асимметричного шифрования

Теоретически приватный ключ от асимметричного шифра можно вычислить, зная публичный ключ и механизм, лежащий в основе алгоритма шифрования (последнее — открытая информация). Надежными считаются шифры, для которых это нецелесообразно с практической точки зрения. Так, на взлом шифра, выполненного с помощью алгоритма RSA с ключом длиной 768 бит на компьютере с одноядерным процессором AMD Opteron с частотой 2,2 ГГц, бывшем в ходу в середине 2000-х, ушло бы 2000 лет.

При этом фактическая надежность шифрования зависит в основном от длины ключа и сложности решения задачи, лежащей в основе алгоритма шифрования, для существующих технологий. Поскольку производительность вычислительных машин постоянно растет, длину ключей необходимо время от времени увеличивать. Так, в 1977-м (год публикации алгоритма RSA) невозможной с практической точки зрения считалась расшифровка сообщения, закодированного с помощью ключа длиной 426 бит, а сейчас для шифрования этим методом используются ключи от 1024 до 4096 бит, причем первые уже переходят в категорию ненадежных.

Что касается эффективности поиска ключа, то она незначительно меняется с течением времени, но может скачкообразно увеличиться с появлением кардинально новых технологий (например, квантовых компьютеров). В этом случае может потребоваться поиск альтернативных подходов к шифрованию.

Публикации на схожие темы

Сквозное шифрование: что это и зачем оно нужно вам

Квантовые компьютеры и криптография для чайников

Квантовые компьютеры — для «чайников»

Эволюция шифровальщика JSWorm

Программы-вымогатели: пара хороших новостей

Дорога к «интернету вещей»: преимущества и риски смарт-езды

Источник

9 Асимметричные криптосистемы

4.1. Концепция криптосистемы с открытым ключом

Эффективными системами криптографической защиты данных являются асимметричные криптосистемы, называемые также криптосистемами с открытым ключом. В таких системах для зашифрования данных используется один ключ, а для расшифрования – другой ключ (отсюда и название – асимметричные). Первый ключ является открытым и может быть опубликован для использования всеми пользователями системы, которые зашифровывают данные. Расшифрование данных с помощью открытого ключа невозможно.

Для расшифрования данных получатель зашифрованной информации использует второй ключ, который является секретным. Разумеется, ключ расшифрования не может быть определен из ключа зашифрования.

Обобщенная схема асимметричной криптосистемы с открытым ключом показана на рис. 4.1. В этой криптосистеме применяют два различных ключа: К_в – открытый ключ отправителя А; k_в – секретный ключ получателя В. Генератор ключей целесообразно располагать на стороне получателя В (чтобы не пересылать секретный ключ k_в по незащищенному каналу). Значения ключей К_в и k_в зависят от начального состояния генератора ключей.

Раскрытие секретного ключа k_в по известному открытому ключу К_в должно быть вычислительно неразрешимой задачей.

Характерные особенности асимметричных криптосистем:

1. Открытый ключ К_в и криптограмма С могут быть отправлены по незащищенным каналам, т.е. противнику известны К_в и С.

2. Алгоритмы шифрования и расшифрования

Рекомендуемые файлы

Рисунок 4.1 – Обобщенная схема асимметричной криптосистемы с открытым ключом

Защита информации в асимметричной криптосистеме основана на секретности ключа k_в.

У.диффи и м.хеллман сформулировали требования, выполнение которых обеспечивает безопасность асимметричной криптосистемы:

1. Вычисление пары ключей (К_в, k_в) получателем В на основе начального условия должно быть простым.

2. Отправитель А, зная открытый ключ К_в и сообщение М, может легко вычислить криптограмму

С = (М) = Е_в (М). (4.1)

3. Получатель В, используя секретный ключ k_в и криптограмму С, может легко восстановить исходное сообщение

М = (С) = D_в(С) = D_в [Е_в(М)]. (4.2)

4. Противник, зная открытый ключ К_в, при попытке вычислить секретный ключ k_в наталкивается на непреодолимую вычислительную проблему.

5. Противник, зная пару (К_в, С), при попытке вычислить исходное сообщение М наталкивается на непреодолимую вычислительную проблему [28].

4.2. Однонаправленные функции

Концепция асимметричных криптографических систем с открытым ключом основана на применении однонаправленных функций. Неформально однонаправленную функцию можно определить следующим образом. Пусть X и Y – некоторые произвольные множества. Функция

является однонаправленной, если для всех xÎX можно легко вычислить функцию

И в то же время для большинства yÎY достаточно сложно получить значение xÎX, такое, что f (x)=y (при этом полагают, что существует по крайней мере одно такое значение x).

Основным критерием отнесения функции f к классу однонаправленных функций является отсутствие эффективных алгоритмов обратного преобразования Y ® X.

В качестве первого примера однонаправленной функции рассмотрим целочисленное умножение. Прямая задача – вычисление произведения двух очень больших целых чисел P и Q, т.е. нахождение значения

является относительно несложной задачей для ЭВМ.

Обратная задача – разложение на множители большого целого числа, т.е. нахождение делителей P и Q большого целого числа N = P*Q, является практически неразрешимой задачей при достаточно больших значениях N. По современным оценкам теории чисел при целом N»2 664 и P»Q для разложения числа N потребуется около 10 23 операций, т.е. задача практически неразрешима на современных ЭВМ.

Следующий характерный пример однонаправленной функции – это модульная экспонента с фиксированными основанием и модулем. Пусть A и N – целые числа, такие, что 1£ А x (mod N), (4.4)

где X – целое число, 1£ x £ N –1.

Существуют эффективные алгоритмы, позволяющие достаточно быстро вычислить значения функции f_A,N (x).

Поэтому задачу обращения функции f_A,N(x) называют задачей нахождения дискретного логарифма или задачей дискретного логарифмирования.

Задача дискретного логарифмирования формулируется следующим образом. Для известных целых A, N, Y найти целое число X, такое, что

Алгоритм вычисления дискретного логарифма за приемлемое время пока не найден. Поэтому модульная экспонента считается однонаправленной функцией.

По современным оценкам теории чисел при целых числах A » 2 664 и N » 2 664 решение задачи дискретного логарифмирования (нахождение показателя степени x для известного y) потребует около 10 26 операций, т.е. эта задача имеет в 10 3 раз большую вычислительную сложность, чем задача разложения на множители. При увеличении длины чисел разница в оценках сложности задач возрастает.

Следует отметить, что пока не удалось доказать, что не существует эффективного алгоритма вычисления дискретного логарифма за приемлемое время. Исходя из этого, модульная экспонента отнесена к однонаправленным функциям условно, что, однако, не мешает с успехом применять ее на практике.

Вторым важным классом функций, используемых при построении криптосистем с открытым ключом, являются так называемые однонаправленные функции с «потайным ходом» (с лазейкой). Дадим неформальное определение такой функции. Функция

относится к классу однонаправленных функций с «потайным ходом» в том случае, если она является однонаправленной и, кроме того, возможно эффективное вычисление обратной функции, если известен «потайной ход» (секретное число, строка или другая информация, ассоциирующаяся с данной функцией).

В качестве примера однонаправленной функции с «потайным ходом» можно указать используемую в криптосистеме RSA модульную экспоненту с фиксированными модулем и показателем степени. Переменное основание модульной экспоненты используется для указания числового значения сообщения M либо криптограммы C

4.3. Криптосистема шифрования данных RSA

Алгоритм RSA предложили в 1978 г. три автора: Р.Райвест (Rivest), А.Шамир (Shamir) и А.Адлеман (Adleman). Алгоритм получил свое название по первым буквам фамилий его авторов. Алгоритм RSA стал первым полноценным алгоритмом с открытым ключом, который может работать как в режиме шифрования данных, так и в режиме электронной цифровой подписи.

Надежность алгоритма основывается на трудности факторизации больших чисел и трудности вычисления дискретных логарифмов.

В криптосистеме RSA открытый ключ К_в, секретный ключ k_в, сообщение М и криптограмма С принадлежат множеству це-лых чисел

Здесь P и Q – случайные большие простые числа. Для обеспечения максимальной безопасности выбирают P и Q равной длины и хранят в секрете.

Множество Z_N с операциями сложения и умножения по модулю N образует арифметику по модулю N.

Открытый ключ К_в выбирают случайным образом так, чтобы выполнялись условия:

Это можно осуществить, так как получатель В знает пару простых чисел (P,Q) и может легко найти j (N). Заметим, что k_в и N должны быть взаимно простыми.

Открытый ключ К_в используют для шифрования данных, а секретный ключ k_в – для расшифрования.

Преобразование шифрования определяет криптограмму С через пару (открытый ключ К_в, сообщение М) в соответствии со следующей формулой:

C = (M) = E_В (M) = (mod N). (4.10)

В качестве алгоритма быстрого вычисления значения C используют ряд последовательных возведений в квадрат целого M и умножений на M с приведением по модулю N.

Однако обратную задачу, т.е. задачу расшифрования криптограммы С, можно решить, используя пару (секретный ключ k_в, криптограмма С) по следующей формуле:

М = (С) = D_В (C) = (mod N). (4.11)

Процесс расшифрования можно записать так:

Подставляя в (4.12) значения (4.10) и (4.11), получаем:

= М (mod N)

= M (mod N). (4.13)

Величина j (N) играет важную роль в теореме Эйлера, которая утверждает, что если НОД (x, N) =1, то

или в несколько более общей форме

x n × j ( N )+1 º x (mod N). (4.14)

Сопоставляя выражения (4.13) и (4.14), получаем

или, что то же самое,

Именно поэтому для вычисления секретного ключа k_в используют соотношение (4.9).

Таким образом, если криптограмму

C = (mod N)

возвести в степень k_в, то в результате восстанавливается исходный открытый текст М, так как

= = M n × j ( N )+1 º M (mod N).

Таким образом, получатель В, который создает криптосистему, защищает два параметра: 1) секретный ключ k_в и 2) пару чисел (P,Q), произведение которых дает значение модуля N. С другой стороны, получатель В открывает значение модуля N и открытый ключ К_в.

Противнику известны лишь значения К_в и N. Если бы он смог разложить число N на множители P и Q, то он узнал бы «потайной ход» – тройку чиселв>, вычислил значение функции Эйлера

и определил значение секретного ключа k_в.

Однако, как уже отмечалось, разложение очень большого N на множители вычислительно не осуществимо (при условии, что длины выбранных P и Q составляют не менее 100 десятичных знаков).

4.3.1. Процедуры шифрования и расшифрования в

Предположим, что пользователь А хочет передать пользователю В сообщение в зашифрованном виде, используя криптосистему RSA. В таком случае пользователь А выступает в роли отправителя сообщения, а пользователь В – в роли получателя. Как отмечалось выше, криптосистему RSA должен сформировать получатель сообщения, т.е. пользователь В. Рассмотрим последовательность действий пользователя В и пользователя А.

1. Пользователь В выбирает два произвольных больших простых числа P и Q.

2. Пользователь В вычисляет значение модуля N = P * Q.

3. Пользователь В вычисляет функцию Эйлера

и выбирает случайным образом значение открытого ключа К_в с учетом выполнения условий:

5. Пользователь В пересылает пользователю А пару чисел (N, К_в) по незащищенному каналу.

Если пользователь а хочет передать пользователю в сообщение м, он выполняет следующие шаги.

6. Пользователь А разбивает исходный открытый текст М на блоки, каждый из которых может быть представлен в ви-де числа

7. Пользователь А шифрует текст, представленный в виде последовательности чисел М_i по формуле

C_i = (mod N)

и отправляет криптограмму

8. Пользователь В расшифровывает принятую криптограмму

используя секретный ключ k_в, по формуле

М_i = (mod N).

В результате будет получена последовательность чисел М_i, которые представляют собой исходное сообщение М. Чтобы алгоритм RSA имел практическую ценность, необходимо иметь возможность без существенных затрат генерировать большие простые числа, уметь оперативно вычислять значения ключей К_в и k_в.

4.3.2. Безопасность и быстродействие криптосистемы

Безопасность алгоритма RSA базируется на трудности решения задачи факторизации больших чисел, являющихся произведениями двух больших простых чисел. Действительно, криптостойкость алгоритма RSA определяется тем, что после формирования секретного ключа k_в и открытого ключа К_в «стираются» значения простых чисел Р и Q, и тогда исключительно трудно определить секретный ключ k_в по открытому ключу К_в, поскольку для этого необходимо решить задачу нахождения делителей Р и Q модуля N.

Разложение величины N на простые множители Р и Q позволяет вычислить функцию j (N) = (P –1)(Q –1) и затем определить секретное значение k_в, используя уравнение

Другим возможным способом криптоанализа алгоритма RSA является непосредственное вычисление или подбор значения функции

j (N) = (P –1)(Q –1). Если установлено значение j (n), то сомножители P и Q вычисляются достаточно просто. В самом деле, пусть

y = (P – Q) 2 = (Р + Q) 2 – 4*N.

Зная j (N), можно определить x и затем y; зная x и y, можно определить числа Р и Q из следующих соотношений:

P = 1/2 (x +), Q = 1/2 (x –).

Однако эта атака не проще задачи факторизации модуля N [28].

Задача факторизации является трудно разрешимой задачей для больших значений модуля N.

Сначала авторы алгоритма RSA предлагали для вычисления модуля N выбирать простые числа P и Q случайным образом, по 50 десятичных разрядов каждое. Считалось, что такие большие числа N очень трудно разложить на простые множители. Один из авторов алгоритма RSA, P. Pайвест, полагал, что разложение на простые множители числа из почти 130 десятичных цифр, приведенного в их публикации, потребует более 40 квадриллионов лет машинного времени. Однако этот прогноз не оправдался из-за сравнительно быстрого прогресса компьютеров и их вычислительной мощности, а также улучшения алгоритмов факторизации.

Ряд алгоритмов факторизации приведен в [45]. Один из наиболее быстрых алгоритмов, известных в настоящее время, алгоритм NFS (Number Field Sieve) может выполнить факторизацию большого числа N (с числом десятичных разрядов больше 120) за число шагов, оцениваемых величиной

.

В 1994 г. было факторизовано число со 129 десятичными цифрами. Это удалось осуществить математикам А.Ленстра и М.Манасси посредством организации распределенных вычислений на 1600 компьютерах, объединенных сетью, в течение восьми месяцев. По мнению А.Ленстра и М.Манасси, их работа компрометирует криптосистемы RSA и создает большую угрозу их дальнейшим применениям. Теперь разработчикам криптоалгоритмов с открытым ключом на базе RSA приходится избегать применения чисел длиной менее 200 десятичных разрядов. Самые последние публикации предлагают применять для этого числа длиной не менее 250 – 300 десятичных разрядов.

Была сделана попытка расчета оценок безопасных длин ключей асимметричных криптосистем на ближайшие 20 лет исходя из прогноза развития компьютеров и их вычислительной мощности, а также возможного совершенствования алгоритмов факторизации. Эти оценки (табл.4.1.) даны для трех групп пользователей (индивидуальных пользователей, корпораций и государственных организаций), в соответствии с различием требований к их информационной безопасности. Конечно, данные оценки следует рассматривать как сугубо приблизительные, как возможную тенденцию изменений безопасных длин ключей асимметричных криптосистем со временем.

Источник