НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

НССвклидовы Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

ΠŸΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΎΠΊ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ, Π±Ρ‹Π»ΠΎ мноТСство. Π—Π°Π³Π²ΠΎΠ·Π΄ΠΊΠ° Π±Ρ‹Π»Π° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ самом постулатС ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΡƒΠ΄Π°Π²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ. И постСпСнно ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅ стали ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ мысли, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, Π³Π΄Π΅ пятый постулат Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π°. Над этим Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΈ ΠΈ ΠšΠ°Ρ€Π» Гаусс, ΠΈ Янош Бояи, Π½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄Ρ†Π΅ΠΌ стал Николай Π˜Π²Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‡ ЛобачСвский, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π² 1829 Π³. ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» свои «Начала Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈΒ». Он оставил ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ постулата, Π½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ» пятый.

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

ΠŸΡΡ‚Ρ‹ΠΉ постулат ЛобачСвского ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой, проходят ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π΄Π²Π΅ прямыС, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ с Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΅Π΅, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ.

Иногда ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ЛобачСвского Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π½ΠΎ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π² Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ говорится ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых β€” Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ. Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пространство, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ дСйствуСт гСомСтрия ЛобачСвского, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½ΠΎΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ пространство ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ, Ссли ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ сСбС гСомСтричСскиС Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Π½Π° Π²ΠΎΡ€ΠΎΠ½ΠΊΡƒ ΠΈ сСдло. Π’ΠΎ всяком случаС, Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° гСомСтрия, Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ, рСализуСтся Π² искривлСнном пространствС. А вСдь сСйчас считаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пространство нашСй ВсСлСнной ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½ΠΎΠΉ. Бвязана Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° гСомСтрия ΠΈ с Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π­ΠΉΠ½ΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½Π°. А Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° гСомСтрия Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½Π°, Π½ΠΎ являСтся Π΅Π΅ частным случаСм.

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° гСомСтрия

Π’ Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅ извСстны Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ β€” Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°, ЛобачСвского ΠΈ Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π°. ГСомСтрия Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π° рСализуСтся Π½Π° сфСрС, ΠΈ Ρ‚Π°ΠΌ всС прямыС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ. Но ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈ этом нСльзя Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС, согласно своСму ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

ΠΠ•Π•Π’ΠšΠ›Π˜Π”ΠžΠ’Π Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π―

ΠΠ•Π•Π’ΠšΠ›Π˜Π”ΠžΠ’Π Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π―, гСомСтрия, сходная с Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€, Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ ΠΎΡ‚ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· пяти Π΅Π΅ постулатов (Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ пятый) Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… постулатов (1825) явилось Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ событиСм Π² истории мысли, ΠΈΠ±ΠΎ послуТило ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ шагом Π½Π° ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ постулат Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любой ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ прямой ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ. Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄, ΠΏΠΎ-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡƒ, считал, Ρ‡Ρ‚ΠΎ этот постулат содСрТит Π² сСбС ΠΈ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ. Однако Π² «эллиптичСской» Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ любая прямая ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Π° ΠΈ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ окруТности, Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Π°.

ΠŸΡΡ‚Ρ‹ΠΉ постулат ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли прямая пСрСсСкаСт Π΄Π²Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ прямыС Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сторону ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π΅ Π² суммС мСньшС Π΄Π²ΡƒΡ… прямых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ эти Π΄Π²Π΅ прямыС, Ссли ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ, пСрСсСкутся с Ρ‚ΠΎΠΉ стороны, Π³Π΄Π΅ сумма этих ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² мСньшС суммы Π΄Π²ΡƒΡ… прямых. Но Π² «гипСрболичСской» Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ прямая CB (рис. 1), пСрпСндикулярная Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π‘ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой r ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ s ΠΏΠΎΠ΄ острым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ B, Π½ΠΎ, Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ бСсконСчныС прямыС r ΠΈ s Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ пСрСсСкутся.

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

Из этих пСрСсмотрСнных постулатов слСдовало, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, равная 180 Β° Π² Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, большС 180 Β° Π² эллиптичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ мСньшС 180 Β° Π² гипСрболичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ.

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ, вСроятно, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ самого Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°. Π•Π³ΠΎ Π½Π΅ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ «нСсамоочСвидный» пятый постулат слСдуСт хотя Π±Ρ‹ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ свои ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ восСмь ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Π½Π΅ прибСгая ΠΊ этому постулату. Π‘ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΠ° Π΄ΠΎ Π½.э. Π΄ΠΎ 1820 ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ вывСсти пятый постулат ΠΈΠ· ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, Π½ΠΎ прСуспСли лишь Π² Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ эквивалСнтными допущСниями, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Β«Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°Β» ΠΈΠ»ΠΈ Β«Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π½Π΅ располоТСнныС Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ окруТности». Π‘Π»ΠΈΠΆΠ΅ всСх подошСл ΠΊ Ρ†Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠ΅Π·ΡƒΠΈΡ‚, Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Π”ΠΆ.Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ (1667–1733), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π» свои исслСдования с Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ (рис. 2), Ρ‚.Π΅. с Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° BCED, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ BC = DE, Π° ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°Ρ… C ΠΈ E прямыС. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°Ρ… B ΠΈ D ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ рассмотрСл ΠΏΠΎΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρ‹: Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ‚ΡƒΠΏΡ‹Π΅, прямыС ΠΈ острыС. Он Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ любая ΠΈΠ· этих Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·, Ссли Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ для ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, остаСтся Π² силС для всСх Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ намСрСвался ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρƒ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ прямыС, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π², Ρ‡Ρ‚ΠΎ любая другая Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. ВскорС ΠΎΠ½ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ€Π³ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρƒ ΠΎ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π΅ (ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ самым лишил сСбя возмоТности ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ), ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ всС Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ Π΄ΠΎ 1854, рассматривал Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ постулат ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ этого постулата ΠΎΠ½ Π½Π΅ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π». Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ€Π³ ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Ρƒ ΠΎΠ± остром ΡƒΠ³Π»Π΅, Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ это ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ½, сам Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ вСдая, ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π» ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅ΠΉ впослСдствии Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ гипСрболичСской.

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

К.Гаусса (1777–1855) принято ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π°ΠΉΡˆΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ² всСх Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½. Он ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ подошСл ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅ с соврСмСнной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния, согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ пятый постулат, Π½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈ Π½Π΅Π΅ самой, Π½Π΅ оТидая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ этом Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ΅. Письма Гаусса ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌ говорят ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊ 1816 ΠΎΠ½ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ΄ΠΎΠ»Π΅Π» Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ прСдрассудок ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ нСизбСТности противорСчия ΠΈ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ» Β«Π°Π½Ρ‚ΠΈΠ΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΡƒΒ» Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π΅ Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ ΠΎΠ± остром ΡƒΠ³Π»Π΅. Но, опасаясь насмСшСк, ΠΎΠ½ воздСрТивался ΠΎΡ‚ ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ этих ΠΈΠ΄Π΅ΠΉ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ самым ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ» Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ открытия гипСрболичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Π² 1825) Π²Π΅Π½Π³Ρ€Ρƒ Π―.Бойяи (1802–1860) ΠΈ русскому Н.И.ЛобачСвскому (1793–1856). Бойяи ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» свою Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΡΠ»Ρ‹ΡˆΠ°Π» ΠΎ ЛобачСвском, Π° послСдний, судя ΠΏΠΎ всСму, Ρ‚Π°ΠΊ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Π½Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Π» ΠΎΠ± исслСдованиях Бойяи.

Π’ 1854 Π‘.Π ΠΈΠΌΠ°Π½ (1826–1866) Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· нСограничСнности пространства Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ слСдуСт Π΅Π³ΠΎ бСсконСчная ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Бмысл этого утвСрТдСния станСт яснСС, Ссли ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ всСлСнной астроном Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ Π±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π² тСлСскоп, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ достаточно высокой Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, свой собствСнный Π·Π°Ρ‚Ρ‹Π»ΠΎΠΊ (Ссли ΠΎΡ‚Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ нСбольшой Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ, связанной с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ свСт, ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚ Π·Π°Ρ‚Ρ‹Π»ΠΊΠ°, достиг Π±Ρ‹ Π³Π»Π°Π·Π° астронома Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тысячи ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² Π»Π΅Ρ‚). Π’ своСм Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ внСшний ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ любой Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° большС Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ любой ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½, Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ нСявно использовал Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ прямой. Из этой Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ тотчас ΠΆΠ΅ слСдуСт Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° мСньшС суммы Π΄Π²ΡƒΡ… прямых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Если ΠΎΡ‚ΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ бСсконСчной Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ прямой, Ρ‚ΠΎ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ ΠΎ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΌ ΡƒΠ³Π»Π΅ ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° большС суммы Π΄Π²ΡƒΡ… прямых. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Π» Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΄Π°Π²Π½ΠΎ извСстно Π² сфСричСской Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Π³Π΄Π΅ стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΡƒΠ³Π°ΠΌΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ². Π ΠΈΠΌΠ°Π½ внСс ΡΠΏΠΎΡ…Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄, распространив прСдставлСниС ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ, Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ пространствС с Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΈ большСС число ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ.

ЭллиптичСская ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ.

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ прСдставлСниС с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостСй сфСры (ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ сСвСрный ΠΈ ΡŽΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡŽΡΡ‹ сфСры, являСтся «полюсом» экватора), ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС свойства Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ плоскости ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ для эллиптичСской плоскости.

ГСомСтрия порядка.

Один ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ гипСрболичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ исходит ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… аксиом порядка, справСдливых ΠΈ Π² Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π² эллиптичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Если ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Β«Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈΒ» исходными понятиями, Ρ‚ΠΎ запись [ABC] ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° B Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Β«ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΒ» Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ A ΠΈ C (это ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ, Π½Π΅ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΡΡΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ). ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ аксиомы порядка ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1) сущСствуСт ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ; 2) Ссли A ΠΈ B – Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎ сущСствуСт ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° C, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ [ABC]; 3) эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° C ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Π° ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A ΠΈ 4) порядок [ABC] Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚ Π·Π° собой [CBA], Π½ΠΎ Π½Π΅ [BCA]. Β«ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊΒ» AB, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, состоит ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ P, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… [APB], Π° Β«Π»ΡƒΡ‡Β» A/B («исходящий ΠΈΠ· A Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ сторону, Ρ‡Π΅ΠΌ BΒ») – ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Q, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… [QAB]. Β«ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°ΡΒ» AB состоит ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° AB, Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ A, B ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΡƒΡ‡Π΅ΠΉ A/B, B/A. ΠŸΡΡ‚Π°Ρ аксиома ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли C ΠΈ D – Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° прямой AB, Ρ‚ΠΎ A Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° прямой CD (ΠΈΠ· этой ΠΆΠ΅ аксиомы слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямыС AB ΠΈ CD ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚). ШСстая аксиома Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π²Π½Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой, Π° сСдьмая, сформулированная М.ПашСм (1843–1931), позволяСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ мноТСство всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… сторонах Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ гСомСтрия.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ прямых, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π»ΡƒΡ‡Ρƒ, называСтся Β«ΠΏΡƒΡ‡ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…Β»; ΠΎΠ½ содСрТит Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. БлСдуя Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡƒΡ‡ΠΊΠΎΠΌ (состоящим ΠΈΠ· всСх прямых, проходящих Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ), ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡƒΡ‡ΠΎΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… опрСдСляСт «бСсконСчно ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒΒ», ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ Π”.Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚Π° (1862–1943), Β«ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†Β». ВмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° Π»ΡƒΡ‡Π° (ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π΅ прямыС) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡƒΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… M, ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° Π»ΡƒΡ‡Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† M. Π›ΡƒΡ‡, проходящий Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ C ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡƒΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, принято ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ CM, ΠΊΠ°ΠΊ Ссли Π±Ρ‹ это Π±Ρ‹Π» ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ; Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ символ CM ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ для обозначСния всСй прямой. Если BM ΠΈ CM – ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΡƒΡ‡ΠΈ, Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° MCB называСтся «асимптотичСским Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌΒ», ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½Π° Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ сСбя, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π’ частности, Π΄Π²Π° асимптотичСских Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° конгруэнтны, Ссли Ρƒ Π½ΠΈΡ… имССтся ΠΏΠΎ конгруэнтной сторонС ΠΈ конгруэнтному ΡƒΠ³Π»Ρƒ.

ГипСрболичСская ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Из Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Бойяи ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρƒ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρƒ (ΠΈΠ»ΠΈ Π°Ρ„Ρ„ΠΈΠ½Π½ΡƒΡŽ) аксиому: Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ B, Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой r, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ. Π“ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти ΠΈΠ· Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€Π±ΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ аксиому, ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ, Π½ΠΎ Π±Π΅Π· отрицания Β«Π½Π΅Β» Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π»ΡƒΡ‡ΠΈ BM ΠΈ BN Π½Π° рис. 4 ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ r, Π° Ссли M ΠΈ N ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρ‹, Ρ‚ΠΎ r называСтся «прямой MNΒ». Π›ΡŽΠ±Π°Ρ прямая, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ t, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ стороны ΡƒΠ³Π»Π° Π  NBM, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с r ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ Β«Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…Β», Ρ‚.Π΅. ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ прямых, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹. Π”Π²Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ прямыС ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ СдинствСнный ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ пСрпСндикуляр. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ прямых, пСрпСндикулярных Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой a, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Β«ΠΏΡƒΡ‡ΠΊΠΎΠΌ Π³ΠΈΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…Β» с «осью» a.

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

Одной ΠΈΠ· самых прСкрасных страниц Π² Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ ΠΏΠΎ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ со Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ ЛобачСвского считаСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π“.Π›ΠΈΠ±ΠΌΠ°Π½ΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° остаСтся ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π²Π΅ (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ) Π΅Π³ΠΎ стороны становятся бСсконСчными. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ сводится ΠΊ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΡŽ асимптотичСского Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡŽ ΠΈΡ… с соблюдСниСм ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ условия: всС ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠΌΠ΅Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π›ΠΈΠ±ΠΌΠ°Π½Π° восполняСт ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… шагов Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Гауссом красивом Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ любого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° Π΅Π³ΠΎ Β«ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ Π΄Π΅Ρ„Π΅ΠΊΡ‚ΡƒΒ» – Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ, насколько сумма ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° мСньшС Π΄Π²ΡƒΡ… прямых. Аналогия с Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (A + B + C) – p для ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ сфСричСского Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ сфСрС) Π½Π°Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π½Π° ΠΌΡ‹ΡΠ»ΡŒ ΠΎ СстСствСнной Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ измСрСния, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC просто Ρ€Π°Π²Π½Π° p –(A + B + C). Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ эту Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ, ЛобачСвский Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΠ» ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ x, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ

ΠšΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅, ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡƒΡ‡ΠΊΡƒ прямых, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΈΠ΄ концСнтричСских окруТностСй; ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅, ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡƒΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²ΠΈΠ΄ концСнтричСских Β«ΠΎΡ€ΠΈΡ†ΠΈΠΊΠ»ΠΎΠ²Β». Π’ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ€ΠΈΡ†ΠΈΠΊΠ» – это ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° окруТности, Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡƒΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ окруТности становятся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ).

Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΉ.

Π€.Π’Π°Ρ…Ρ‚Π΅Ρ€ (1792–1817) Π·Π° нСсколько мСсяцСв Π΄ΠΎ Π±Π΅Π·Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠ½Ρ‹ сообщил Π² письмС ΠΊ Гауссу ΠΎ своСм наблюдСнии: Ссли пятый постулат Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½, Ρ‚ΠΎ сфСра, радиус ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ бСсконСчности, приблиТаСтся ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ повСрхности, Ρ‡ΡŒΡ внутрСнняя гСомСтрия совпадаСт с Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ плоскости. Π’Π΅ΠΌ самым Π’Π°Ρ…Ρ‚Π΅Ρ€ прСдвосхитил появлСниС «орисфСры», ΡΡ‹Π³Ρ€Π°Π²ΡˆΠ΅ΠΉ Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ… Бойяи ΠΈ ЛобачСвского. Π­Ρ‚Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ получаСтся ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ€ΠΈΡ†ΠΈΠΊΠ»Π° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ любого ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ². ΠšΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Π½Π° орисфСрС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‚ сСбя, ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹ прямыС, – ΠΎΡ€ΠΈΡ†ΠΈΠΊΠ»Ρ‹, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ орисфСру ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π΅Π΅ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ плоскости.

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

НССвклидовы Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

ПолСзноС

Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ «ΠΠ΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ» Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… словарях:

ΠΠ•Π•Π’ΠšΠ›Π˜Π”ΠžΠ’Π« Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π˜ β€” гСомСтричСскиС систСмы, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΉ особоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ЛобачСвского гСомСтрия … Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠΉ ЭнциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

ΠΠ•Π•Π’ΠšΠ›Π˜Π”ΠžΠ’Π« Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π˜ β€” Π² Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠΈ всС Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡. систСмы, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°; ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ Н. Π³. примСняСтся лишь ΠΊ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡. систСмам (ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°), Π² ΠΊ Ρ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ с Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ свободы,… … ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энциклопСдия

Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ β€” гСомСтричСскиС систСмы, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ особоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ЛобачСвского гСомСтрия. * * * ΠΠ•Π•Π’ΠšΠ›Π˜Π”ΠžΠ’Π« Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π˜ ΠΠ•Π•Π’ΠšΠ›Π˜Π”ΠžΠ’Π« Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π˜, гСомСтричСскиС систСмы, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.… … ЭнциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

ΠΠ•Π•Π’ΠšΠ›Π˜Π”ΠžΠ’Π« Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π˜ β€” Π³Π΅ΠΎΠΌ. систСмы, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ Н. Π³. особоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ЛобачСвского гСомСтрия … ЕстСствознаниС. ЭнциклопСдичСский ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ€ΡŒ

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ β€” Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ … ВикипСдия

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅Π³ΠΎ Востока β€” Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ По Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЕстСствСнныС Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ … ВикипСдия

ЛобачСвского гСомСтрия β€” гСомСтричСская тСория, основанная Π½Π° Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ основных посылках, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ обычная Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° гСомСтрия, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ аксиомы ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, которая замСняСтся Π½Π° аксиому ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ЛобачСвского. Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° аксиома ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… гласит:… … Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ совСтская энциклопСдия

ΠŸΠ ΠžΠ‘Π’Π ΠΠΠ‘Π’Π’Πž β€” Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ (наряду с Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ) понятиС чСловСчСского ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ мноТСствСнный Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ сущСствования ΠΌΠΈΡ€Π°, Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ², ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² чСловСчСском восприятии ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ слоТный… … Ѐилософская энциклопСдия

Π›ΠžΠ‘ΠΠ§Π•Π’Π‘ΠšΠžΠ“Πž Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π― β€” гСомСтрия, основанная Π½Π° Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ основных посылках, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° гСомСтрия, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ аксиомы ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… (см. ΠŸΡΡ‚Ρ‹ΠΉ постулат). Π’ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ согласно этой аксиомС Π½Π° плоскости Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π , Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Π²Π½Π΅ прямой А А, проходит… … ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энциклопСдия

Π ΠΈΠΌΠ°Π½Π° гСомСтрия β€” эллиптичСская гСомСтрия, ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΉ (Π‘ΠΌ. НССвклидовы Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ), Ρ‚. Π΅. гСомСтричСская тСория, основанная Π½Π° аксиомах, трСбования ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… (Π² Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ части) ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ аксиом Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (Π‘ΠΌ.… … Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ совСтская энциклопСдия

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

НССвклидова гСомСтрия

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ [ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ]

Π€ΠΎΠ½ [ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ]

Если прямая линия ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° Π΄Π²Π΅ прямыС Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ сторонС вмСстС мСньшС Π΄Π²ΡƒΡ… прямых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° прямыС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ бСсконСчно, Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΉ сторонС, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° прямых ΡƒΠ³Π»Π°.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простыС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ этого свойства. Однако, нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ постулата, ΠΎΠ½ постоянно каТСтся Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТным, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ постулаты Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° :

1. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию ΠΈΠ· любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ.

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ [ΡƒΠ΄Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ] ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ.

3. ΠžΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ с Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ расстояниСм [радиусом].

4. ВсС прямыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ.

Π”ΠΆΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎ Π’ΠΈΡ‚Π°Π»Π΅ Π² своСй ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Euclide restituo (1680, 1686) использовал Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° основании AB ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ CD, Ρ‚ΠΎ AB ΠΈ CD Π²Π΅Π·Π΄Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹.

Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Euclides ab Omni Naevo Vindicatus ( Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄, свободный ΠΎΡ‚ всСх нСдостатков ), ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² 1733 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ быстро отбросил ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ аксиомы Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ эллиптичСская гСомСтрия Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»Π°) ΠΈ принялся Π·Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ, доказывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ большоС количСство Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎ гипСрболичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² ΠΎΠ½ достиг Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ считал, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гипСрболичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Π•Π³ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎ-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡƒ, Π±Ρ‹Π»ΠΎ основано Π½Π° прСдполоТСниях Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ логичСского противорСчия. Π’ этой ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρƒ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ ΠΎΠ½ вмСсто этого Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π» Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΆΠΈΠ·Π½Π΅ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π» Π΅Π΅.

Π’ 1766 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Иоганн Π›Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ написал, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» Β« Theorie der ParallellinienΒ», Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ½, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ, попытался Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ пятый постулат. Он Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π» с Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΎΠΉ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ извСстной ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π›Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Ρ‚Π°., Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с трСмя прямыми ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ (ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ). Он быстро ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΠ» Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тупости Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΊΠ°ΠΊ это сдСлали Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ ΠΈ Π₯айям, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ приступил ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Ρƒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ± остром ΡƒΠ³Π»Π΅. Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ, ΠΎΠ½ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ чувствовал, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ΅Π» ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ с этим ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Он Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ сумма ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ увСличиваСтся с ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈ это ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π»ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡΠΌ ΠΎ возмоТности ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ острого случая Π½Π° сфСрС ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ радиуса. Он Π½Π΅ стал ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒ эту идСю дальшС. [7]

Π’ Ρ‚ΠΎ врСмя Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ распространСно ΠΌΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ВсСлСнная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π² соотвСтствии с ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ°ΠΌΠΈ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. [8]

ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ [ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ]

ВСрминология [ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ]

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎ-Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΡŽΡ‚ список Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ слСдуСт Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Β«Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉΒ». [16]

АксиоматичСская основа Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ [ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ]

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅. Π€ΠΎΡ‚ΠΎ НССвклидова гСомСтрия Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅

Π‘ΠžΠ”Π•Π Π–ΠΠΠ˜Π•

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ

Π—Π°Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½

Если прямая линия ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° Π΄Π²Π΅ прямыС Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ сторонС вмСстС мСньшС Π΄Π²ΡƒΡ… прямых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° прямыС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ бСсконСчно, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΉ сторонС, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° прямых ΡƒΠ³Π»Π°.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простыС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ этого свойства. Однако, нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ постулата, ΠΎΠ½ постоянно каТСтся Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТным, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ постулаты Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° :

1. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию ΠΈΠ· любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ.

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ [ΡƒΠ΄Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ] ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ.

3. ΠžΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ с Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ расстояниСм [радиусом].

4. ВсС прямыС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ.

Π”ΠΆΠΎΡ€Π΄Π°Π½ΠΎ Π’ΠΈΡ‚Π°Π»Π΅ Π² своСй ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Euclide restituo (1680, 1686) использовал Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° основании AB ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ CD, Ρ‚ΠΎ AB ΠΈ CD Π²Π΅Π·Π΄Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹.

Π’ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Euclides ab Omni Naevo Vindicatus ( Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄, свободный ΠΎΡ‚ всСх нСдостатков ), ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² 1733 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ, Π‘Π°ΠΊΠΊΠ΅Ρ€ΠΈ быстро отбросил ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ аксиомы Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ эллиптичСская гСомСтрия Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»Π°) ΠΈ принялся Π·Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ, доказывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ большоС количСство Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎ гипСрболичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² ΠΎΠ½ достиг Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ считал, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ гипСрболичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Π•Π³ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎ-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡƒ, Π±Ρ‹Π»ΠΎ основано Π½Π° прСдполоТСниях Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ логичСского противорСчия. Π’ этой ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρƒ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ ΠΎΠ½ вмСсто этого Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π» Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΆΠΈΠ·Π½Π΅ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π» Π΅Π΅.

Π’ Ρ‚ΠΎ врСмя Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ распространСно ΠΌΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ВсСлСнная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π² соотвСтствии с ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ°ΠΌΠΈ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

ВСрминология

Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎ-Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΡŽΡ‚ список Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ слСдуСт Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Β«Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉΒ».

АксиоматичСская основа Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *