Объясните что такое достоверное невозможное и случайное событие приведите примеры

1.2.1. Виды событий

Одно из базовых понятий тервера уже озвучено выше – это событие. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

1) Достоверным называют событие, которое в результате испытания (осуществления определенных действий, определённого комплекса условий) обязательно произойдёт. Например, в условиях земного тяготения подброшенная монета непременно упадёт вниз.

3) И, наконец, событие называется случайным, если в результате испытания оно может, как произойти, так и не произойти, при этом должен иметь место принципиальный критерий случайности: случайное событие – есть следствие случайных факторов, воздействие которых предугадать невозможно или крайне затруднительно. Пример: в результате броска монеты выпадет «орёл». В рассмотренном случае случайные факторы – это форма и физические характеристики монеты, сила и направление броска, сопротивление воздуха и т.д.

Подчёркнутый критерий случайности очень важен – так, карточный шулер может очень ловко имитировать случайность и давать выигрывать клиенту, но ни о каких случайных факторах, влияющих на итоговый результат, речи не идёт.

Любой результат испытания называется исходом, который, собственно и представляет собой появление определённого события. В частности, при подбрасывании монеты возможно 2 исхода (случайных события): выпадет орёл, выпадет решка. Естественно, подразумевается, что данное испытание проводится в таких условиях, что монета не может встать на ребро или, скажем, зависнуть в невесомости.

События (любые) обозначают большими латинскими буквами либо теми же буквами с подстрочными индексами, например: . При этом стараются избегать буквы , которая зарезервирована под другие нужды.

Запишем следующие случайные события:

– в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– в результате броска игральной кости (кубика) выпадет 5 очков;
– из карточной колоды будет извлечена карта трефовой масти.

Да, события прямо так и записывают в практических задачах, при этом в уместных случаях удобно использовать «говорящие» подстрочные индексы (хотя можно обойтись и без них).
И следует в третий раз подчеркнуть, что случайные события обязательно удовлетворяют вышеприведённому критерию случайности. В этом смысле особо показателен 3-й пример: если из колоды изначально удалить все карты трефовой масти, то событие становится невозможным. Наоборот, если испытателю известно, что, например, дама треф лежит снизу, то он при желании может сделать событие достоверным =) Таким образом, в данном примере предполагается, что карты хорошо перемешаны и их «рубашки» неразличимы, т.е. колода не является краплёной.

Важной характеристикой случайных событий является их равновозможность. Два или бОльшее количество событий называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое. Например:

– выпадение орла или решки при броске монеты;
– выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика;
– появление трефы, пики, бубны или червы при случайном извлечении карты из полной колоды.

При этом предполагается, что монета и кубик однородны и имеют геометрически правильную форму, а колода хорошо перемешана и «идеальна» с точки зрения неразличимости рубашек карт.

Могут ли быть те же события НЕ равновозможными? Легко. Так, если у монеты или кубика смещён центр тяжести, то гораздо чаще будут выпадать вполне определённые грани. Если кто-то ловко спрятал в рукаве туза треф, то становится менее возможным, что оппоненту будет сдана трефа, и, главное, менее возможно, что будет сдан туз.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Предмет теории вероятностей. Достоверные, невозможные и случайные события. Виды случайных событий

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следую­щие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная сово­купность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и темпера­туре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность усло­вий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществле­нии совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо над­пись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» — случайное. Каждое случайное событие, в частно­сти выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих при­чин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет еди­ничное событие или нет, — она просто не в силах это сделать.

По-иному обстоит дело, если рассматриваются случай­ные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т. е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих за­кономерностей и занимается теория вероятностей.

Т.о., предметом теории вероятностей является изу­чение вероятностных закономерностей массовых однород­ных случайных событий.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики.

Виды случайных событий. События называют несовместными, если появле­ние одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример. Брошена монета. Появление «герба» исключает по­явление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» — несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несов­местны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.

Пример 2. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события обра­зуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример 3. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно прои­зойдет одно, из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

События называют равновозможными, если есть осно­вания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример 4. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты —равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Соб-я обозн-ся прописными буквами лат.алфавита: А, В, С. А₁, А₂..

Противоположными называют 2 единственно возможных соб-я, образующих полную группу. Если одно из двух противопол. событий обозначено через А, то др. обозн-ся А`.

Пример 5. Попадание и промах при выстреле по цели – противопол. соб-я.

Источник

Объясните что такое достоверное невозможное и случайное событие приведите примеры

Событиями являются и результаты различных опытов, наблюдений и измерений.

1) из ящика с разноцветными шарами наугад вытаскивают белый шар;

2) на один из приобретенных лотерейных билетов выпал выигрыш;

3) при бросании игральной кости выпала цифра 6.

События делятся на достоверные, случайные и невозможные.

Достоверным называется событие, если оно обязательно произойдет в данном испытании.

Случайным называется событие, если оно может произойти, но может и не произойти в данном испытании.

Невозможным называется событие, если оно не может произойти в данном испытании.

За единицу принимают вероятность достоверного события, а вероятность невозможного события считают равной нулю. Тогда вероятность Р любого события А удовлетворяет неравенству:

Несовместными называются события, если появление одного из них

Пример. Опыт состоит в подбрасывании монеты, событие А – выпадение орла, событие В – выпадение решки. Эти события несовместны, равновозможны и единственно возможны.

Равновозможными называются события, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Единственно возможными называются события, если в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит. Говорят, что единственно возможные события образуют полную группу событий .

Рассмотрим классический метод определения вероятности некоторого случайного события. Пусть в результате некоторого опыта могут наступить события А₁, А₂, А₃, …, А_n (элементарные исходы опыта), которые являются:

1)единственно возможными, т.е. в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит;

2)несовместными, т.е. появление одного из них исключает появление всех остальных;

3)равновозможными, т.е. не существует никаких причин, в связи с которыми одно из событий появлялось бы чаще, чем остальные.

Пусть при появлении некоторых из этих событий наступает событие А. Обозначим число таких событий k (k≤n). А при появлении остальных (n-k) событий событие А не наступает. Говорят, что k событий (элементарных исходов), при которых появляется событие А, благоприятствуют событию А, а остальные (n-k) событий не благоприятствуют ему.

Вероятностью события А называется отношение числа k элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов испытания n, если они равновозможны, несовместны и единственно возможны.

Источник

Теория вероятностей, формулы и примеры

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы — приглашаем на вводный урок!

Сложение и умножение вероятностей

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события A₁, A₂. A_n образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

По теореме умножения вероятностей:

Аналогично, для остальных гипотез:

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

P₁₀₀₀(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Кроме того, пусть P_n(k₁;k₂) — вероятность того, что число появлений события А находится между k₁ и k₂.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Источник