Объем выборки что это

Определение объема выборки

На практике решение вопроса об объеме выборки является компромиссным между предположением о точности результатов обследования и возможностями их практической реализации (т.е. исходя из затрат на проведение опроса).

На практике используется несколько подходов к определению объема выборки. Обратим внимание на самые простые из них. Первый из них называется произвольным подходом и основан он на применении «правила большого пальца».

Например, бездоказательно принимается, что для получения точных результатов выборка должна составлять 5 % от совокупности. Данный подход простой и доступный в исполнении, не позволяет получать точные результаты. Его достоинством является относительная дешевизна затрат. В соответствии со вторым подходом объем выборки может быть установлен исходя из заранее оговоренных условий. Заказчик маркетингового исследования, например, знает, что при изучении общественного мнения выборка обычно составляет 1000 – 1200 человек, поэтому он рекомендует исследователю придерживаться данной цифры.

Третий подход означает, что в некоторых случаях главным аргументом при определении объема выборки может быть стоимость проведения опроса. Хотя при этом ценность и достоверность получаемой информации не принимается в расчет.

В случае четвертого подхода объем выборки определяется на основе статистического анализа. Данный подход предполагает определение минимального объема выборки с учетом требований к надежности и достоверности получаемых результатов.

Пятый подход считается наиболее теоретически обоснованным и правильным подходом в определении объема выборки. Он основан на расчете доверительного интервала.

Доверительный интервал – это диапазон, крайние точки которого характеризуют процент определенных ответов на какой-то вопрос. Данное понятие тесто связано с понятием «среднее квадратичное отклонение получаемого признака в генеральной совокупности». Чем оно больше, тем шире должен быть доверительный интервал, чтобы включить в свой состав, например 9,5 % ответов.

Из свойств нормальной кривой распределения вытекает, что конечные точки доверительного интервала, равного к примеру 9,5 % определяются как произведение: 1,96 (нормированное отклонение) и среднего квадратичного отклонения.

Числа 1,96 и 2,58 (для 99 % доверительного интервала) обозначаются как z.

Существуют таблицы «Значение интеграла вероятности», которые дают возможность определить величины z для различных доверительных интервалов. Доверительный интервал равный 95% или 99% является стандартным при проведении маркетинговых исследований.

Например, проведено исследование числа визитов автовладельцев в сервисные мастерские за год. Доверительный интервал для среднего числа визитов был рассчитан равным 5 – 7 визитам при 99 % уровне доверительности. Это означает, что если появится возможность, провести независимо 100 раз выборочные исследования, то для 99 выборочных исследований среднее значение числа визитов попадут в диапазон от 5 до 7 визитов, Если сказать иначе, то 99 % автовладельцев попадут в доверительный интервал.

Допустим, было проведено исследование до 50 независимых выборок. Средние оценки для этих выборок образовали нормальную кривую распределения, которое называется выборочным распределением.

Средняя оценка для совокупности в целом равна средней оценке кривой распределения. Понятие «выборочное распределение» рассматривается также в качестве одного из базовых понятий теоретической концепции, лежащее в основе определения V выборки.

Естественно ни одна компания не в состоянии сформировать 10, 20, 50 независимых выборок. Обычно используется только одна выборка.

Математическая статистика позволяет получить некую информацию о выборочном распределении, владея точными данными о вариации единственной выборки.

Индикатором степени отличия оценки, истинной для совокупности в целом, которая ожидается для типичной выборки, является средне квадратическая ошибка. К примеру, исследуется мнение потребителей о новом товаре и заказчик данного исследования указал, что его устроит точность полученных результатов, равная плюс минус 5%.

Предположим, что 30 % членов выборки высказались за новый продукт. Это означает, что диапазон возможных оценок для всей совокупности составляет 25 – 35 %. Причем, чем больше объем выборки, тем меньше ошибка. Высокое значение вариации обусловливает высокое значение ошибки и наоборот.

Определим объем выборки на основе расчета доверительного интервала. Исходной информацией, необходимой для реализации данного подхода, является:

Когда на заданный вопрос существует только два варианта ответов, выраженных в процентах (используется процентная мера), объем выборки определяется по следующей формуле:

где n – объем выборки;

z – нормированное отклонение, определяемое исходя из выбранного уровня доверительности (табл. 7);

р – найденная вариация для выборки;

е – допустимая ошибка.

Значение нормированного отклонения оценки z от среднего значения

в зависимости от доверительной вероятности (а) полученного результата

Источник

Объем выборки что это

О возможности судить о целом по части миру рассказал российский математик П.Л. Чебышев. «Закон больших чисел» простым языком можно сформулировать так: количественные закономерности массовых явлений проявляются только при достаточном числе наблюдений. Чем больше выборка, тем лучше случайные отклонения компенсируют друг друга и проявляется общая тенденция.

А.М. Ляпунов чуть позже сформулировал центральную предельную теорему. Она стала фундаментом для создания формул, которые позволяют рассчитать вероятность ошибки (при оценке среднего по выборке) и размер выборки, необходимый для достижения заданной точности.

Строгие формулировки:

С увеличением числа случайных величин их среднее арифметическое стремится к среднему арифметическому математических ожиданий и перестает быть случайным. Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

Таким образом з.б.ч. гарантирует устойчивость для средних значений некоторых случайных событий при достаточно длинной серии экспериментов.

Распределение случайной величины, которая получена в результате сложения большого числа независимых случайных величин (ни одно из которых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада и имеет дисперсию значительно меньшею по сравнению с дисперсией суммы) имеет распределение, близкое к нормальному.

Из ц.п.т. следует, что ошибки выборки также подчиняется нормальному распределению.

Репрезентативность — это степень соответствия характеристик выборки характеристикам генеральной совокупности. Только данные по репрезентативным выборкам можно экстраполировать на всю популяцию.

Репрезентативность достигается за счет случайного отбора. Случайный отбор — хорошо. Детерминированный отбор — плохо. Он искажает структуру выборки и как следствие результат измерений. Нельзя судить о среднем росте россиян по росту ста баскетболистов, которые тренируются во дворе вашего дома, просто потому что вам так удобно.

Существует методология, которая позволяет сократить детерминированность при формировании выборки и приблизиться к случайному отбору.

Стратифицированная выборка. Выделяются объективно существующие страты и из каждой страты отбираются единицы пропорционально их доле в генеральной совокупности. Например для опроса россиян страты могут быть определены пропорцией населения в регионах. После чего респонденты внутри каждого региона отбираются случайным образом.

Механический отбор. Все объекты сортируются по порядковым номерам, после чего осуществляется отбор с шагом n. Например, можно отсортировать телефонные номера потенциальных участников исследования и звонить каждому 100-му.

Серийная выборка (гнездовая, кластерная). Объективно существующие группы отбираются случайным образом. Объекты внутри групп обследуются полностью. Например вскрывается один контейнер продукции и каждый товар проверяется на брак.

Метод снежного кома. У каждого респондента запрашиваются контакты его знакомых, которые подходят под условия отбора. Условия случайности отбора грубо нарушается, но это один из способов провести исследование среди труднодостижимых групп. Как быть иначе, если ваша цель — опросить любителей стальных гоночных велосипедов выпущенных не позже 1987 года.

Стихийная выборка (выборка по удобству). Применяется, когда низкая цена получения данных — это главный приоритет. Для повышения качества стихийной выборки на неё накладываются квоты. Заранее рассчитываются пропорции признаков в выборке так, чтобы они соответствовали структуре генеральной совокупности. В социологии такими признаками служат пол, возраст, профессия, семейный статус, регион проживания.

Источник

Как определить размер выборки?

Статистика знает все. И Ильф и Е. Петров, «12 Стульев»

Представьте себе, что вы строите крупный торговый центр и желаете оценить автомобильный поток въезда на территорию парковки. Нет, давайте другой пример… они все равно этого никогда не будут делать. Вам необходимо оценить вкусовые предпочтения посетителей вашего портала, для чего необходимо провести среди них опрос. Как увязать количество данных и возможную погрешность? Ничего сложного — чем больше ваша выборка, тем меньше погрешность. Однако и здесь есть нюансы.

Теоретический минимум

Не будет лишним освежить память, эти термины нам пригодятся далее.

Уже в самих определениях ошибки первого и второго рода имеется простор для дебатов и толкований. Как с ними определиться и какую выбрать в качестве нулевой? Если вы исследуете уровень загрязнения почвы или вод, то как сформулируете нулевую гипотезу: загрязнение присутствует, или нет загрязнения? А ведь от этого зависит объем выборки из общей популяции объектов.

Исходная популяция, также как и выборка может иметь любое распределение, однако среднее значение имеет нормальное или гауссово распределение благодаря Центральной Предельной Теореме.

Относительно параметров распределения и среднего значения в частности возможно несколько типов умозаключений. Первое из них называется доверительным интервалом. Он указывает на интервал возможных значений параметра, с указанным коэффициентом доверия. Так например 100(1-α)% доверительный интервал для μ будет таким (Ур. 1).

Второе из умозаключений — проверка гипотезы. Оно может быть примерно таким.

Если нам нужно проверить значение μ для одной выборки из общей совокупности, то критерий обретет вид.

Как видим погрешность действительно уменьшается вместе с ростом количества входных данных. Откуда легко вывести искомое (Ур. 4).

Практика — считаем с R

Проверим гипотезу о том, что среднее значение данной выборки количества насекомых в ловушке равно 1.

и наконец получаем критический интервал для среднего значения: 1.05 — 2.22.

В итоге, следует отбраковать H₀ и принять H₁ так как с вероятностью 95%, μ > 1.

Поправка на ветер

На самом деле нет никаких причин, полагать, что нам будет известна σ (дисперсия), в то время как μ (среднее) нам еще только предстоит оценить. Из-за этого уравнение 4 имеет мало практической пользы, кроме особо рафинированных примеров из области комбинаторики, а реалистичное уравнение для n несколько сложнее при неизвестной σ (Ур. 5).

Обратите внимание, что σ в последнем уравнении не с шапкой (^), а тильдой (

). Это следствие того, что в самом начале у нас нет даже оценочного стандартного отклонения случайной выборки — , и вместо нее мы используем запланированное — . Откуда же мы берем последнее? Можно сказать, что с потолка: экспертная оценка, грубые прикидки, прошлый опыт и т. д.

А что на счет второго слагаемого правой стороны 5-го уравнения, откуда оно взялось? Так как , необходима поправка Гюнтера.

Помимо уравнений 4 и 5 есть еще несколько приблизительно-оценочных формул, но это уже заслуживает отдельного поста.

Источник

Определение объема выборки

Решение об объеме выборки является компромиссом между теоретическими предположениями о точности результатов обследования и возможностями их практической реализации. Известно, что чем больше объем выборки, тем меньше ее ошибка. Однако необходимо учитывать, что, стоимость выборки растет пропорционально ее объему, а ошибка выборки уменьшается по норме, равной квадратному корню из относительного роста размера выборки. Если размер выборки увеличить в 4 раза, то ошибка выборки уменьшится только на половину.

Оптимальный объём выборки зависит от следующих параметров:

— изучаемых характеристик и их распределения в генеральной совокупности;

— доступных ресурсов (финансовых, временных) для исследования.

Подходы к определению объема выборки.

Произвольный подход основан на применении «правила большого пальца». Например, бездоказательно принимается, что для получения точных результатов выборка должна составлять 5% от генеральной совокупности.

Объем выборки может быть установлен исходя из некоторых заранее оговоренных условий. При изучении общественного мнения выборка обычно составляет 1000-1200 человек.

В случае, если на каком-то рынке проводятся ежегодные исследования, то в каждом году используется выборка одного и того же объема.

Объем выборки может определяться на основе статистического анализа. Этот подход основан на определении минимального объема выборки исходя из требований к надежности и достоверности получаемых результатов.

В математической теории выборочного наблюдения доказывается, что с увеличением объема выборки вероятность появления больших ошибок и пределы максимально возможной ошибки уменьшаются (чем больше обследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик).

Принципиальную возможность определения генеральной средней по данным простой случайной выборки доказывает теорема П.Л. Чебышева, также известная как «закон больших чисел». В приложении к выборочному методу неравенство. П.Л. Чебышева может быть сформулировано так: при неограниченном, увеличении числа независимых наблюдений в генеральной совокупности с ограниченной дисперсией с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно ожидать, что отклонение выборочной средней от генеральной средней будет сколь угодно мало.

Центральная предельная теорема А. М. Ляпунова, доказана в 1901 г. Согласно этой теореме, при достаточно большом числе независимых наблюдений и генеральной совокупности с конечной средней и ограниченной дисперсией вероятность того, что расхождение между выборочной и генеральной средней \х

-х\ не превзойдет по абсолютной величине, некоторую величину, равна интегралу Лапласа.

Нормальное распределение на графике выглядит как непрерывная кривая. Площадь, ограниченная этой кривой над любым заданным отрезком оси х, равна частоте или вероятности попадания случайного числа на этот отрезок.

Среднее арифметическое находится при помощи усреднения, т.е. сложения данных и деления полученного результата на количество слагаемых.

Понятие вариации характеризует величину несхожести (схожести) ответов респондентов на определенный вопрос. В качестве меры вариации обычно принимается среднее квадратическое отклонение, которое характеризует среднее расстояние от средней оценки ответов каждого респондента на определенный вопрос.

При определении объёма выборки исследователь использует два основных статистических параметра: точность оценки и степень достоверности оценки.

Точность оценки – величина ошибки результата в абсолютном или относительном выражении. Степень достоверности оценки – вероятность того, что оценка соответствует истинному значению при установленной точности, т.е. вероятность гарантирующая результат.

Доверительный интервал – интервал, в который попадает определенный процент выборочных средних.

Из свойств нормальной кривой распределения вытекает, что конечные точки доверительного интервала, равного скажем 95%, определяются как произведение 1,96, называемого нормированным отклонением, на среднее квадратическое отклонение. Числа 1,96 и 2,58 (для 99%-ного доверительного интервала) обозначаются как z. Имеются таблицы «Значения интеграла вероятностей», которые дают возможность определить величины z для различных доверительных интервалов. Доверительный интервал, равный или 95%, или 99%, является стандартным при проведении маркетинговых исследований.

Значение нормированного отклонения оценки (z) от среднего значения в зависимости от доверительной вероятности () полученного результата.

, %	99,7
z	0,84	1,03	1,29	1,44	1,65	1,96	2,18	2,58	3,0

В общем случае, для выборок достаточно большого объёма (больше 30 элементов) при оценке уровня среднего значения признака в генеральной совокупности, объём определяется по следующей формуле:

z – нормированное отклонение, соответствующее принятому уровню доверительной вероятности (то есть вероятности, с которой истинное значение признака в генеральной совокупности будет соответствовать значению признака в выборочной совокупности), определяется по статистическим таблицам;

e 2 – предельная ошибка выборки (то есть величина, устанавливающая границы интервала относительно выборочного среднего значения, в которые с указанной доверительной вероятностью попадёт генеральное среднее значение изучаемого признака);

N – объем генеральной совокупности

Величина σ² зачастую бывает неизвестна, поэтому используют приближенные способы ее оценки:

Возможно определение объема выборки на основе процентных величин. Например, исследуется мнение потребителей о новом продукте и заказчик данного исследования указал, что его устроит точность полученных результатов, равная 5%. Предположим, что 30% членов выборки высказалось за новый продукт. Это означает, что диапазон возможных оценок для всей совокупности составляет 25% – 35%. Причем, чем больше объем выборки, тем меньше ошибка. Высокое значение вариации обусловливает высокое значение ошибки и наоборот.

Когда на исходный вопрос существует только два варианта ответа, выраженное в % (например, 30% респондентов будет покупать новый продукт, а 70% не будет покупать новый продукт), объем выборки определяется по следующей формуле:

,

где n – объем выборки;

z – нормированное отклонение, определяемое исходя из выбранного уровня доверительности;

р – найденная вариация для выборки;

e – допустимая ошибка.

При использовании процентной меры изменчивости принимается в расчет то обстоятельство, что максимальная изменчивость достигается для p = 50%, что является наихудшим случаем. Иногда, когда невозможно определить вариацию для выборки используют максимальную меру изменчивости.

Приведенные формулы расчета объема выборки основаны на предположении, что все правила формирования выборки были соблюдены и единственной ошибкой выборки является ошибка, обусловленная ее объемом. Однако, следует помнить, что объем выборки определяет точность полученных результатов, но не их представительность, которая определяется методом формирования выборки.

1. В ходе исследования запланировано выяснить отношение жителей города Воронежа к новому продукту – соль диетическая. Предварительные данные отсутствуют. Необходимо определить объем выборки для поквартирного опроса методом личного интервью. Заказчика устроит уровень доверительной вероятности, равный 95%, если ошибка будет составлять не более 3%.

Применим формулу:

,

где n – размер выборки;

Получаем: n = 1067.

2. Количество предприятий, использующих в своем производстве конвейерную ленту общего назначения, составляет 2300. Доля предприятий, предпочитающих импортную ленту, по предварительным данным составляет около 20%. При величине доверительной вероятности 95% найти объем выборки, если ошибка должна составить не более 5%.

Применим формулу:

,

где n – размер выборки;

Получаем: n = 217.

Поскольку генеральную совокупность можно считать малой, то скорректируем полученное значение объема выборки по формуле:

Подставляя в формулу имеющиеся значения, получаем n’ = 207.

Для того, чтобы гарантировать результат с вероятностью 95,4 % (z = 2), необходимо обследовать 370 семей. Эту величину можно округлить до 400 семей, т.е. устанавливается 4 % выборка.

Условные обозначения для переменных генеральной совокупности.

Формула расчета дисперсии:

Стандартная ошибка среднего (доли) относится к выборочному распределению среднего или доли, а не к выборке или всей совокупности.

Нормированное отклонение z точки – это количество стандартных ошибок, на которые точка удалена от среднего.

Ошибка, степень точности – максимально допустимое различие между выборочным средним и генеральным средним.

Нормальное распределение – симметричный график, колоколообразная форма. Функция нормального распределения задается генеральным средним µ и генеральным стандартным отклонением σ. Существует бесконечное множество комбинаций µ и σ.

Расчет средней ошибки повторной простой случайной выборки производится следующим образом:

cредняя ошибка для средней:

cредняя ошибка для доли:

Расчет средней ошибки бесповторной случайной выборки:

средняя ошибка для средней:

средняя ошибка для доли:

Расчет предельной ошибки повторной случайной выборки:

предельная ошибка для средней:

предельная ошибка для доли:

Расчет предельной ошибки бесповторной случайной выборки:

Источник