Объединение треугольников что такое

Значение символа Валькнут (три треугольника)

Символ валькнут традиционно относят к скандинавской культуре, однако в некоторых источниках можно встретить мнения, что данный знак имеет древнеегипетские или древнегреческие корни.

Также можно встретить мнение, что это славянский оберег. Вероятно, исследователей натолкнуло на такой вывод обнаружение валькнута в изобразительном искусстве многих народов и отсутствие его на изображениях скандинавского бога Одина, с которым собственно символ и отождествляется.

Знак представляет собой переплетающиеся линии, складывающиеся в три треугольника.

Такая конфигурация называется также «узлом убитых» (или «избранных»).

Магический символ по сей день используется в качестве оберега, но есть теории о нежелательности ношения валькнута живым человеком.

Откуда взялся символ валькнут

Валькнут, представляющий собой знак, вмещающий три треугольника, чаще всего встречается на рунических камнях, жертвенниках и изображениях битв или казней.

Также этот знак обнаруживался на ритуальных принадлежностях для погребения.

Традиционно этот символ выбивался на жертвенных камнях, предназначенных для осуществления казни «кровавый орел».

В ходе казни еще живому человеку рассекали ребра, выворачивали их в стороны и доставали легкие. Последние клали на плечи казнимому наподобие крыльев.

Такой способ казни применялся к врагам, плененным в ходе военных конфликтов, а в некоторых источниках описывается как способ мести (например, за убийство).

Это считалось принесением жертвы Одину, поэтому валькнут, как непременный атрибут такого жертвенника, и связывают с этим богом.

По значению валькнут, скорее всего, отображал некий «путь воина»: от земного существования до Вальхаллы и встречи с Одином.

Очевидно, что таким образом воина заблаговременно готовили к загробной жизни.

КСТАТИ! Любопытно, что в период такого ритуального применения самого названия «валькнут» еще не было. Оно появилось в литературных источниках, датируемых примерно 14 – 15 вв.

Значение валькнута как символа

Буквальное значение термина «валькнут» (valrknut) – «узел павших (воинов)».

Воины, убитые на поле боя, отправлялись в Вальхаллу (в скандинавской мифологии – огромный зал с потолком из позолоченных щитов и стенами из копьев.

Это сооружение находится в Асгарде – небесном городе, где обитают боги). Вальхаллой управляет верховный бог Один.

А так как валькнут наносился, в основном, при отправлении воинов «на встречу с Одином», то и знак этот стал отождествляться с этим божеством.

Символизм знака «валькнут» раскрывается в следующих тезисах:

Суммируя все приведенные трактовки, можно вывести такое значение «узла павших» — связь между мирами и временами.

Именно поэтому при помощи этого символа люди пытались (и пытаются) постичь скрытые знания.

Также знак используется в магических ритуалах. Для «простых» людей (не связанных с магией и тайными учениями) валькнут по своему значению символизирует единство духа, души и тела.

Применение такого талисмана позволяет гармонизировать свою жизнь. Однако подходит оберег валькнут отнюдь не ко всем жизненным ситуациям и не всем людям.

ВНИМАНИЕ! Следует все же помнить, что значение «узла павших» исторически прочно ассоциируется с предопределенностью скорой гибели того, кто несет на себе это знак.

Разновидности символа и их внешний вид

Валькнут состоит из трех равносторонних треугольников, которые соединены между собой.

В зависимости от способа их соединения различают 2 разновидности начертания валькнута:

КСТАТИ! Значение валькнута от начертания не меняется. Некоторое изменение смысла наблюдается только от добавления к знаку рун.

Числовой символизм валькнута

Числа играют очень важную роль во всех языческих религиях. Числовой символизм, соответственно, присущ и скандинавскому язычеству.

Числа, отраженные в изображении «узла павших» — это 3 и 9. Они имеют свое собственные сакральное значение. 9 – это число миров в скандинавской мифологии:

Также 9 – число ветвей мирового ясеня Иггдрассиля (по одному на каждый мир). 9 ветвей – основа рун старшего алфавита (футарка). 3 – число норн (богинь судьбы), отражающее настоящее, прошлое и будущее.

Значение валькнута как единения миров

Значение валькнута обычно трактуется как символ единения трех миров – богов, людей и умерших.

Соответственно, это Асгард, Мидгард и Хельхейм. Соединение всех вышеназванных миров дает огромную силу, способствующую познанию.

Эта функция используется магами и ясновидящими для открытия пути к сокрытым знаниям.

Считается, что специфическое взаимодействие с этим магическим символом (например, медитация) дает энергию для трансформации личности, переосмысления действительности и устройства мироздания, которое не открывается в обычных условиях.

Валькнут в руническом круге

Как было сказано выше, руны, расположенные вокруг валькнута, могут менять его значение.

Как правило, этот символ и изображается в окружении рун. Обычно это Дагаз, Турисаз, Уруз и Феху.

Данные руны циклично повторяются, что символизирует прибавление опыта со временем, а также развитие при постоянном продвижении.

При этом положение знака по отношению к руническим символам может иметь 8 вариантов (вариант определяется в зависимости от тех рун, на которые указывают выступающие углы валькнута), отчего изменяется значение оберега валькнут.

Вот смысл рун, в круг которых заключается рассматриваемый знак:

Руны в кругу повторяются, что символизирует непрерывный жизненный цикл и постоянное самосовершенствование носителя.

Как пользоваться валькнутом в качестве оберега

Значение валькнута в повседневном обиходе – стремление к познанию.

Его носят для погружения в тайны окружающего мира и поиска собственного жизненного смысла.

Также талисман способен развивать у носителя способности к ясновидению и логическому мышлению.

Одновременно он оптимизирует когнитивные функции (память, внимание и т. д.).

Но одновременно с вышеперечисленным такой талисман опасен тем, что призывает на носителя серьезные испытания.

Если человек, носящий этот знак, выдержит свалившиеся на него невзгоды, ему даруется доступ к потаенным знаниям.

Используется валькнут в виде всевозможных украшений: браслет валькнут, кулоны, кольца, перстни, сережки, подвески.

Также до сих пор распространена практика нанесения этого знака на тело в качестве татуировки.

ВНИМАНИЕ! Ношение амулета валькнут требует вдумчивого отношения. Считается, что расположение его у сердца значительно ухудшает здоровье (то есть испытание для носителя предстоит со стороны его физического тела). Поэтому желательно носить этот знак либо выше, либо ниже расположения сердца. Этот знак также несет опасность для военнослужащих, поскольку раньше такой символ несли на себе те воины, что отправлялись в свой последний бой.

Значение валькнута в качестве татуировки

Татуировку в виде валькнута можно встретить и сейчас. Считается, что такой нательный рисунок указывает своему носителю верный путь.

Это подходит весьма амбициозным личностям, которые готовы жертвовать всем ради познания истины.

Такая татуировка показана людям, очень сильным духом, которые не привыкли сворачивать с выбранного пути.

Кстати, не рекомендуется применять в нательном рисунке валькнут в сочетании с рунами.

Считается, что так он приобретает совершенно ритуальный смысл (примерно как у воинов, идущих «на встречу с Одином»).

Символ «валькнут» имеет общее значение единения миров. Такой талисман помогает проникнуть в тайны мироздания, но одновременно и провоцирует проблемы в жизни носителя.

Преодоление этих невзгод означает, что человек готов к постижению тайных знаний.

Носитель валькнута должен быть очень силен духом и готов к противостоянию жизненным трудностям.

Если данный материал оказался интересным и полезным для Вас, поделитесь им в социальных сетях.

Источник

Что означает символ три треугольника и его свойства

Значение Валькнут интересует многих людей. Этот символ также называют Узлом Убитых. Другие его названия — «Сердце Хрунгнира» или «Знак Одина». Он представляет собой загадочное языческое наследие. Согласно одной из наиболее популярных версий, талисман появился в древних скандинавских странах. Отдельные историки называют этот знак египетским или греческим. Вне зависимости от происхождения, символ помогает открывать новые границы и способствует саморазвитию.

Внешний вид символа Валькнут и его магические свойства

Символ Валькнут имеет 2 вида, которые похожи друг на друга, но при этом имеют и значительные отличия.

Так, он может представлять собой:

Этот символ встречается на многих скандинавских ритуальных предметах. Если изучить символику, можно увидеть в ней сакральные для скандинавских народностей числа, а именно — 3 и 9. Так, 3 означает число треугольников, которые сплетаются друг с другом. 9 символизирует количество их вершин и миров, а также веток священного дерева.

Им украшали мебель в доме, поскольку защита нужна была не только во время войны. Есть сведения, что в Англии было найдено золотое кольцо с этим знаком. Сегодня оно хранится в Британском музее. Приблизительный возраст украшения приходится на девятый век.

Этот символ часто встречается в скандинавских странах.

Хотя знак символ Валькнут преимущественно встречается в нордической культуре, он является одним из тех знаков, точное предназначение которых неизвестно. Истинное значение 3 треугольников покрыто мраком.

Тем не менее, сегодня считается, что Валькнут помогает людям получить необычные способности. С его помощью можно познать основные законы мироздания и открыть завесу тайны относительно иных миров. Также символ помогает формировать единый временной вектор, который соединяет прошлое, настоящее и будущее.

В знаке кроется триединство Одина, а также его связь с другими богами. Он сочетает материальное и духовное. С помощью тройного треугольника удается гармонизировать духовное и физическое начало.

Что обозначает символ и его разновидности

Оберег Валькнут изображают по-разному. При этом возможны следующие варианты:

Каждый вариант выполнения может применяться отдельно или в комбинации с руническим кругом. Вне зависимости от способа нанесения 3 треугольников значение символа не изменится. При этом его смысл может поменяться при добавлении рун.

Символ Валькнут считается очень многогранным. Самое популярное толкование знака удается получить путем расшифровки его названия.

Так как Вальхаллу, которая стала последним пристанищем для погибших воинов, возглавлял верховный бог, символ негласно стали называть знаком Одина.

Однако это толкование считается весьма поверхностным. Для понимания глубинной сути стоит изучить еще одно значение Валькнута, а именно — триединство.

Одна из теорий говорит о том, что каждый из треугольников соответствует конкретной богине:

Рассмотренный символизм можно преобразовать в более доступную форму. В зависимости от этого Валькнут может иметь такие значения:

Три треугольника — символ, который имеет много граней. При сопоставлении талисмана с другими знаками можно увидеть, что он в чем-то напоминает египетский крест, знак Валькирии, уникальную Печать Соломона. Также есть сходство с оберегом Алатырь, который использовался в славянстве. Помимо этого, в православии есть похожие символы.

У славян этот символ означает сплоченность семьи, которая не сталкивается с множеством проблем. Крепкая семья способна была справиться с болезнями и неприятностями. В славянских мифах именно так выглядела счастливая жизнь.

Значение символа зависит и от пола его обладателя:

Именно поэтому они являются предметом споров. Многие язычники и вовсе считают, что Валькнут не сочетается с рунами. Но на самом деле символ в руническом круге может превратиться в сильнейший оберег.

Символ можно носить в виде подвески.

Особенности применения оберега и значение Валькнут

Бытует мнение, что Валькнут не принято было носить поверх одежды. Стандартный вариант — это использование украшений. Тип изделия не влияет на значение знака. Потому можно ориентироваться на индивидуальные предпочтения.

Не стоит располагать кулон на уровне сердца. Дело в том, что его мощная энергетика может негативно отразиться на работе этого внутреннего органа и даже вызвать серьезные заболевания.

Идеальным местом для размещения талисмана считается зона немного выше солнечного сплетения. В этой области знак принесет максимальную пользу согласно своему значению. Потому при использовании украшения на цепочке или шнурке важно отрегулировать его длину.

Валькнут допустимо вышивать на одежде. Однако его нельзя наносить на военную форму. Викинги, которые шли в бой с этим символом, знали, что погибнут.

Для оберега Валькнут характерна сильная энергетика. Потому украшение должно быть сделано из соответствующего металла. Лучше всего проводит и аккумулирует энергию серебро. Металл подойдет людям, которые стремятся развивать свои магические возможности. Также серебро позволяет отпугивать зло во всех его формах.

Значение материала для изображения символа

Значение символа может меняться и в зависимости от материала, из которого он изготовлен:

Талисман требует очень аккуратного обращения. Его нужно регулярно очищать. Для этой цели отлично подойдет соль. Это поможет символу наполнить жизнь гармонией и обеспечить дополнительную защиту от порчи и сглаза.

Рекомендации по изготовлению и использованию

Чтобы прочувствовать всю силу талисмана и ощутить в полной мере его энергию, знак можно сделать самостоятельно. Это поможет в полной мере ощутить влияние символа на жизнь. Также при самостоятельном изготовлении амулета удастся максимально настроиться на нордическую энергию.

Самостоятельно можно попытаться создать амулет в любом виде. Его можно вырезать на дереве, вышить, выковать, нарисовать на стене. Поскольку знак обладает очень сильной энергетикой, его можно не очищать. Валькнут сумеет сам избавиться от чужих воздействий и отпечатков.

Если разместить амулет около порога своего дома, ни один недоброжелатель не сумеет причинить вред. Такое расположение талисмана обеспечивает надежную защиту от сглаза и порчи.

Важно, чтобы амулет Валькнут был личной вещью человека. Его нельзя передавать из рук в руки. Талисман не может иметь несколько владельцев. Этот сакральный предмет заряжается энергетикой человека. Он имеет слишком серьезное и глубокое значение, а потому не терпит легкомысленного отношения к себе.

Найденный талисман можно использовать

Если человек нашел такой талисман возле своего порога или на улице, это может значить покровительство высших сил. Бояться этого не следует. Однако при наличии сомнений лучше пройти дальне, не обращая внимания. Но при этом нужно учитывать, что такой символ станет прекрасным шансом изменить свою судьбу в лучшую сторону.

Правила нанесения татуировки с символом Валькнут

Валькнут — тату, которое считается весьма спорным изображением. Символ помогает раскрыть внутренний потенциал и получить доступ к тайным знаниям. Однако за даруемые блага последует расплата. Она кроется в испытаниях.

Человек с тату Вальхалла, как его иногда называют, будет подвергаться проверкам. Они направлены на то, чтобы доказать готовность человека быть просветленным и получить тайные знания.

Таким образом, тату 3 треугольника превращает жизнь своего обладателя в постоянную борьбу за выживание. Однако люди, которые ее прошли, могут ожидать заслуженной награды. Если есть внутреннее ощущение, что испытания не по плечу, лучше отказаться от постоянной наколки. Вместо постоянной татуировки можно сделать временную или вообще использовать украшение.

Также стоит учитывать значение знака для мужчин и женщин. Девушки часто отказываются от этого сильного символа, который требует уважительного отношения к себе. Чтобы сделать такое тату, нужно иметь очень сильный характер и готовность пройти все жизненные испытания.

При этом татуировка станет своего рода амулетом, который поможет справиться со всеми трудностями и развить интуицию. Лучше всего сделать ее ниже уровня сердца. Также мистический знак можно нанести на кисти рук, запястья, пальцы.

Тату с этим знаком нужно использовать очень аккуратно.

У мужчины после нанесения такой татуировки существенно улучшится жизнь. Однако ему нужно подготовиться к бытовым трудностям. Рисунок в виде треугольников приводит к испытаниям и стимулирует духовный и физический рост. При этом он подойдет только сильным мужчинам. Важно иметь внутреннюю готовность к сложностям и испытаниям.

Большое значение имеет расположение тату Валькнут:

Валькнут — неоднозначный символ, который имеет не только положительные, но и отрицательные стороны. Знак считается очень сильным и не терпит пренебрежительного отношения. Потому перед тем как носить его в виде амулета, обязательно стоит проанализировать основные преимущества и недостатки. При этом знак не подойдет слабым людям, которые не могут выдержать испытания.

Источник

Треугольник

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Если три точки лежат на одной прямой, то «треугольник» с вершинами в трёх данных точках называется вырожденным. Все остальные треугольники невырожденные.

В неевклидовых пространствах в качестве сторон треугольника выступают геодезические линии, которые, как правило, являются криволинейными. Поэтому такие треугольники называют криволинейными.

Содержание

Элементы треугольника

Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как (см. рис.). Треугольник имеет три стороны:

Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):

Треугольник имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

Признаки равенства треугольников

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Типы треугольников

Типы треугольников
Файл:Triangle-acute.svg Остроугольный	Файл:Triangle-obtuse.svg Тупоугольный	Прямоугольный
Разносторонний	Файл:Triangle-isosceles.svg Равнобедренный	Равносторонний

По величине углов

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше. Разность суммы углов треугольника и 180° называется дефектом. Дефект пропорционален площади треугольника, таким образом, у бесконечно малых треугольников на сфере или плоскости Лобачевского сумма углов будет мало отличаться от 180°.

По числу равных сторон

Определения, связанные с треугольником

Все факты, изложенные в этом разделе, из евклидовой геометрии.

Лучи, отрезки и точки

В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный. Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведённая из неё, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

Чевианы, лежащие на прямых, симметричных медианам относительно биссектрис, называются симедианами. Они проходят через одну точку — точку Лемуана.

Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — точки Аполлония. Точки и такие, что и называются точками Брокара.

Прямые

В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония. Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана. Основания внешних биссектрис углов треугольника лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис. На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью, она перпендикулярна прямой Эйлера.

Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек перпендикулярны.

Треугольники

Окружности

Середины трёх сторон треугольника, основания трёх его высот и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера. Окружность девяти точек касается вписанной окружности и трёх вневписанных. Точка касания вписанной окружности и окружности девяти точек называется точкой Фейербаха. Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, ортезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности — окружности Конвея. В любой треугольник можно вписать три окружности таким образом, что каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Такие окружности называются окружностями Мальфатти. Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.

В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.

Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна, а отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей — в точке Нагеля.

Эллипсы, параболы и гиперболы

В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов, парабол или гипербол). Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке. [1]

В треугольник можно вписать эллипс, который касается сторон в серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника). [2] Описанный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины параллельно сторонам, называется описанным эллипсом Штейнера. Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести треугольник в правильный, то его вписанный и описанный эллипс Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности. Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина). Изо всех описанных эллипсов описанный эллипс Штейнера имеет наименьшую площадь, а изо всех вписанных наибольшую площадь имеет вписанный эллипс Штейнера. [3]

Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана. [4]

Перспекторы вписанных парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера. [5] Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр. [6] Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Если описанная гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны). [7] Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек. [7]

Преобразования

Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны). Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек: центр описанной окружности и ортоцентр, центроид и точка Лемуана, точки Брокара. Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли, а центр вписанной окружности изогонально сопряжён сам себе. Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники — в прямые. Так, изогонально сопряжены гипербола Киперта и ось Брокара, гипербола Енжабека и прямая Эйлера, гипербола Фейербаха и линия центров вписанной о описанной окружностей. Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают. Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники. Изотомически сопряжены точки Жергонна и Нагеля. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежищих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид). Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности (если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке , лежит на трилинейной поляре точки , то трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке лежит на трилинейной поляре точки ).

Кубики

Кубика — это кривая третьего порядка (задающаяся уравнением третьей степени). Многие замечательные кубики, связанные с треугольником, строятся следующим образом: фиксируется точка в плоскости (возможно, бесконечно удалённая). Тогда множество таких точек , что прямая проходит через эту точку, является описанной около треугольника кубикой (здесь — точка, изогонально сопряжённая ). Такие кубики проходят также через центры вписанной и вневписанных окружностей, а также через саму фиксированную точку и изогонально сопряжённую ей. [10]

Соотношения в треугольнике

Примечание: в данном разделе , , — это длины трёх сторон треугольника, и , , — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).

Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:

Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики.

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема синусов

где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a Теорема косинусов

Источник